Question

9．已知函數(shù)$f（x）=\frac{lnx+a}{x}（a∈$R）．
（1）若曲線在點（1，f（1））處的切線與直線x-y-1=0平行，求a的值；
（2）在（1）條件下，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（3）當(dāng)a=1，且x≥1時，證明：f（x）≤1．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)求出x=1處的切線方程；
（2）當(dāng)a=0時，利用導(dǎo)數(shù)判斷出f（x）的單調(diào)增區(qū)間與單調(diào)減區(qū)間，從而求出極值；
（3）只需證明lnx+1≤x．構(gòu)造新函數(shù)令$h（x）=x-lnx-1，則h'（x）=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$．
因為x≥1，所以h'（x）≥0，故h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為{x|x＞0}，
所以$f'（x）=\frac{1-lnx-a}{x^2}$．又曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x-y-1=0平行，
所以f'（1）=1-a=1，即a=0．
（2）令f'（x）=0，得x=e，當(dāng)x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（0，e）	e	（e，+∞）
f'（x）	+	0	-
f（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

由表可知：f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，e），單調(diào)遞減區(qū)間是（e，+∞）
所以f（x）在x=e處取得極大值，$f{（x）_{極大值}}=f（{e^{\;}}）=\frac{lne}{e}$．
證明：（3）當(dāng)$a=1時，f（x）=\frac{lnx+1}{x}$．由于$x∈[{1，+∞}），要證f（x）=\frac{lnx+1}{x}≤1$，
只需證明lnx+1≤x．令$h（x）=x-lnx-1，則h'（x）=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$．
因為x≥1，所以h'（x）≥0，故h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)x≥1時，h（x）≥h（1）=0，即lnx+1≤x成立．
故當(dāng)x≥1時，有$\frac{lnx+1}{x}≤1，即f（x）≤1$．

點評 本題主要考查了導(dǎo)數(shù)求切線方程、單調(diào)區(qū)間與函數(shù)極值、構(gòu)造函數(shù)，屬基礎(chǔ)題．