Question

16．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，圓的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+cosφ\(chéng)\ y=2\sqrt{3}+sinφ\(chéng)end{array}\right.$（φ為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為$\sqrt{3}ρcosθ+3ρsinθ+4\sqrt{3}=0$．
（1）將圓的參數(shù)方程化為普通方程，在化為極坐標(biāo)方程；
（2）若點(diǎn)P在直線l上，當(dāng)點(diǎn)P到圓的距離最小時(shí)，求點(diǎn)P的極坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)x=ρcosθ，y=ρsinθ，求出極坐標(biāo)方程即可；
（2）求出直線l的直角坐標(biāo)方程，聯(lián)立方程組，求出P的坐標(biāo)，從而求出P的極坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）將圓的參數(shù)方程，消去參數(shù)φ，
得：（x-2）²+${（y-2\sqrt{3}）}^{2}$=1，
將x=ρcosθ，y=ρsinθ代入（x-2）²+${（y-2\sqrt{3}）}^{2}$=1，
得圓的極坐標(biāo)方程是：ρ²-4ρcosθ-4$\sqrt{3}$sinθ+15=0；
（2）由ρcosθ=x，ρsinθ=y知，
直線l的直角坐標(biāo)方程為：$\sqrt{3}$x+3y+4$\sqrt{3}$=0，其斜率是-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
易得直線l與圓相離，
當(dāng)點(diǎn)P到圓的距離最小時(shí)，則點(diǎn)P與圓心連線與直線l垂直，即其相離是$\sqrt{3}$，
其方程是：y-2$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$（x-2），即y=$\sqrt{3}$x，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x+3y+4\sqrt{3}=0}\\{y=\sqrt{3}x}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
即點(diǎn)P的直角坐標(biāo)是（-1，-$\sqrt{3}$），
故P的極坐標(biāo)是（2，$\frac{4π}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)以及直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．