Question

4．函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，設(shè)f'（x）是f（x）的導函數(shù)，若0＜a＜b，下列各式成立的是（　�。�

• A． $f'（{\frac{2ab}{a+b}}）＜f'（{\frac{a+b}{2}}）＜f'（{\sqrt{ab}}）$
• B． $f'（{\frac{2ab}{a+b}}）＜f'（{\sqrt{ab}}）＜f'（{\frac{a+b}{2}}）$
• C． $f'（{\frac{a+b}{2}}）＜f'（{\frac{2ab}{a+b}}）＜f'（{\sqrt{ab}}）$
• D． $f'（{\frac{a+b}{2}}）＜f'（{\sqrt{ab}}）＜f'（{\frac{2ab}{a+b}}）$

Answer 1

分析 由基本不等式可得$\frac{2ab}{a+b}＜\sqrt{ab}＜\frac{a+b}{2}$，再由函數(shù)f（x）的圖象得到f'（x）的單調(diào)性，則答案可求．

解答 解：∵b＞a＞0，
∴$\frac{a+b}{2}＞\sqrt{ab}$＞0，
則$\frac{1}{\sqrt{ab}}＞\frac{2}{a+b}$，兩邊同時乘以ab，得$\frac{ab}{\sqrt{ab}}＞\frac{2ab}{a+b}$，即$\sqrt{ab}＞\frac{2ab}{a+b}$．
∴$\frac{2ab}{a+b}＜\sqrt{ab}＜\frac{a+b}{2}$．
∵函數(shù)f（x）的圖象是上凸型，由導數(shù)的幾何意義可知，f′（x）為定義域上的減函數(shù)，
則$f'（{\frac{a+b}{2}}）＜f'（{\sqrt{ab}}）＜f'（{\frac{2ab}{a+b}}）$．
故選：D．

點評 本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查導數(shù)的幾何意義，訓練了利用基本不等式進行大小比較，屬中檔題．