Question

1．四棱錐P-ABCD的底面與四個側面的形狀和大小如圖所示．

（1）寫出四棱錐P-ABCD中四對線面垂直關系（不要求證明）；
（2）在四棱錐P-ABCD中，若E為PA的中點，求證：BE∥平面PCD；
（3）在四棱錐P-ABCD中，設面PAB與面PCD所成的角為θ（0°＜θ≤90°），求cosθ的值．

Answer 1

分析 （1）由線面垂直的判定定理，即可得到；
（2）方法一、分別以直線AB、AD、AP為x、y、z軸，建立空間直角坐標系，寫出P，B，C，D，E的坐標，設$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x，y，z）是平面PCD的法向量，由垂直的條件：數量積為0，可得一個法向量，計算$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{{n}_{1}}$=0，即可得證；
方法二、取PD的中點F，連接EF、CF．運用中位線定理，證得四邊形BEFC是平行四邊形，可得BE∥CF，再也線面平行的判定定理即可得證；
（3）由平面PCD的一個法向量和平面PAB的一個法向量，以及向量的夾角公式，計算即可得到所求值．

解答 解：（1）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，
AD⊥平面PAB，BC⊥平面PAB，AB⊥平面PAD…（4分）
注：多寫的按前四對給分，每正確一對，給一分．
CD⊥平面PAC也符合要求．
（2）證法一：依題意AB、AD、AP兩兩垂直，
分別以直線AB、AD、AP為x、y、z軸，
建立空間直角坐標系，如圖．…（5分）
則P（0，0，2），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，4，0）．
∵E是PA中點，∴點E的坐標為（0，0，1），
$\overrightarrow{BE}$=（-2，0，1），$\overrightarrow{PC}$=（2，2，-2），$\overrightarrow{PD}$=（0，4，-2）．
設$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x，y，z）是平面PCD的法向量．
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}⊥\overrightarrow{PC}}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}⊥\overrightarrow{PD}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2x+2y-2z=0}\\{4y-2z=0}\end{array}\right.$，
取y=1，得$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（1，1，2）為平面PCD的一個法向量．…（6分）
∵$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{{n}_{1}}$=-2×1+0×1+1×2=0，∴$\overrightarrow{BE}$⊥$\overrightarrow{{n}_{1}}$，…（8分）
∴$\overrightarrow{BE}$∥平面PCD．又BE?平面PCD，∴BE∥平面PCD．…（9分）
證法二：取PD的中點F，連接EF、CF．

∵E、F分別是PA、PD的中點，
∴EF∥AD，EF=$\frac{1}{2}$AD，∴EF∥BC，且EF=BC，
∴四邊形BEFC是平行四邊形，∴BE∥CF．…（6分）
又∵CF?平面PCD，BE?平面PCD，
∴BE∥平面PCD．…（9分）
（3）由（2），平面PCD的一個法向量為$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（1，1，2），…（10分）
又∵AD⊥平面PAB，∴平面PAB的一個法向量為$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（0，1，0）…（12分）
∴cosθ=|$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}|•|\overrightarrow{{n}_{2}}|}$|=|$\frac{1×0+1×1+2×0}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．…（14分）

點評 本小題主要考查直線與直線，直線與平面，平面與平面位置關系等基礎知識；考查空間想象能力，推理論證能力和運算求解能力．