Question

19．已知公差不等于零的等差數列{a_n}中，a₂=5，a₁，a₄，a₁₃為等比數列{b_n}的前三項．
（1）求數列{a_n}的通項公式
（2）求數列{a_n•b_n}的前n項和為T_n．

Answer 1

分析 （1）設等差數列{a_n}的公差為d≠0，由a₁，a₄，a₁₃為等比數列{b_n}的前三項，可得${a}_{4}^{2}$=a₁•a₁₃，即$（{a}_{1}+3d）^{2}$=a₁•（a₁+12d），又a₂=a₁+d=5，聯立解出即可得出．
（2）由（1）可得：b_n=3ⁿ．a_n•b_n=（2n+1）•3ⁿ．利用“錯位相減法”與等比數列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）設等差數列{a_n}的公差為d≠0，∵a₁，a₄，a₁₃為等比數列{b_n}的前三項，∴${a}_{4}^{2}$=a₁•a₁₃，
∴$（{a}_{1}+3d）^{2}$=a₁•（a₁+12d），又a₂=5，∴a₁+d=5，聯立解得a₁=3，d=2．
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1．
（2）由（1）可得：b₁=3，b₂=9，∴公比q=2，∴b_n=3ⁿ．
∴a_n•b_n=（2n+1）•3ⁿ．
∴數列{a_n•b_n}的前n項和為T_n=3×3+5×3²+…+（2n+1）×3ⁿ，
∴3T_n=3×3²+5×3³+…+（2n-1）×3ⁿ+（2n+1）×3ⁿ⁺¹，
∴-2T_n=3×3+2×（3²+3³+…+3ⁿ）-（2n+1）×3ⁿ⁺¹=3+2×$\frac{3×（{3}^{n}-1）}{3-1}$-（2n+1）×3ⁿ⁺¹=-2n×3ⁿ⁺¹，
∴T_n=n•3ⁿ⁺¹．

點評 本題考查了等差數列與等比數列的通項公式及其求和公式、“錯位相減法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．