Question

3．已知函數(shù)f（x）=（x²+a）e^x（a是常數(shù)，e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)），曲線y=f（x）與x軸相切．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）設(shè)方程f（x）=x²+x的所有根之和為S，且S∈（n，n+1），求整數(shù)n的值；
（Ⅲ）若關(guān)于x的不等式mf（x）+2x+2＜2e^x在（-∞，0）內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)曲線y=f（x）于x軸的切點(diǎn)為（x₀，0），則$\left\{\begin{array}{l}{f（{x}_{0}）=0}\\{f′（{x}_{0}）=0}\end{array}\right.$．解得a．
（Ⅱ）方程f（x）=x²+x可化為z=0或xe^x-x-1=0．而方程xe^x-x-1=0．的根就是函數(shù)g（x）=e^x-$\frac{1}{x}$-1的零點(diǎn)．求出g（x）=e^x-$\frac{1}{x}$-1的零點(diǎn)范圍即可；
（Ⅲ）不等式mf（x）+2x+2＜2e^x可化為$\frac{m}{2}{x}^{2}+\frac{x+1}{{e}^{x}}-1＜0$，設(shè)h（x）=$\frac{m}{2}{x}^{2}+\frac{x+1}{{e}^{x}}-1$，只需h（x）＜0在（-∞，0）恒成立．分①當(dāng)m≤1，②當(dāng)m＞1討論求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=（x²+2x+a）e^x，x∈R，
設(shè)曲線y=f（x）于x軸的切點(diǎn)為（x₀，0），則$\left\{\begin{array}{l}{f（{x}_{0}）=0}\\{f′（{x}_{0}）=0}\end{array}\right.$．
即$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{0}}^{2}+2{x}_{0}+a=0}\\{{{x}_{0}}^{2}+a=0}\end{array}\right.$，解得a=0．
（Ⅱ）方程f（x）=x²+x可化為z=0或xe^x-x-1=0．
而方程xe^x-x-1=0．的根就是函數(shù)g（x）=e^x-$\frac{1}{x}$-1的零點(diǎn)．
∵$g′（x）={e}^{x}+\frac{1}{{x}^{2}}＞0$，∴g（x）在（0，+∞），（-∞，0）都遞增．
∵$g（-\frac{3}{2}）={e}^{-\frac{3}{2}}-\frac{1}{3}＜0$，$g（-1）=\frac{1}{e}＞0$．∴函數(shù)g（x）在（-∞，0）內(nèi)有唯一零點(diǎn)x₁，x₁∈（-$\frac{3}{2}$，-1）．
∵$g（\frac{1}{2}）=\sqrt{e}-3＜0，g（1）=e-2＞0$，∴函數(shù)g（x）在（0，+∞）內(nèi)有唯一零點(diǎn)x₂，x₂∈（$\frac{1}{2}$，1）．．
∴方程f（x）=x²+x的所有根之和為S=0+x₁+x₂∈（-1，0）．
（Ⅲ）不等式mf（x）+2x+2＜2e^x可化為$\frac{m}{2}{x}^{2}+\frac{x+1}{{e}^{x}}-1＜0$，
設(shè)h（x）=$\frac{m}{2}{x}^{2}+\frac{x+1}{{e}^{x}}-1$，由題意得h（x）＜0在（-∞，0）恒成立．
$h′（x）=x（m-\frac{1}{{e}^{x}}）$，∵$\frac{1}{{e}^{x}}＞1在（-∞，0）$恒成立．
①當(dāng)m≤1時(shí)，h′（x）＞0在（-∞，0）恒成立，∴h（x）在（-∞，0）為增函數(shù)，
又∵h(yuǎn)（0）=0，∴當(dāng)x＜0時(shí)，h（x）＜0，即h（x）＜0在（-∞，0）恒成立．
②當(dāng)m＞1時(shí)，令h′（x）=0，得x=0或x=-lnm，在（-lnm，0）上h′（x）＜0恒成立，∴h（x）在（-lnm，0）為減函數(shù)，
又∵h(yuǎn)（0）=0，∴當(dāng)x∈（-lnm，0）時(shí)，h（x）＞0，不符合題意．
綜上：實(shí)數(shù)m的取值范圍（-∞，1]．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)與方程思想，恒成立中的參數(shù)問題，屬于難題．