Question

14．設橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，E上一點P到右焦點距離的最小值為1．
（1）求橢圓E的方程；
（2）過點（0，2）的直線交橢圓E于不同的兩點A，B，求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，a-c=1，解出a，c及b的值即可；
（2）先討論當k不存在時，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的值，當當k存在時，可設直線方程為y=kx+2，聯(lián)立方程組，由△＞0求出k的范圍，由根與系數(shù)關系用k表示x₁+x₂，x₁x₂，由向量的坐標運算用k表示$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$，即可求出$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的取值范圍．

解答 解：（1）由題意得$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，即a=2c，且a-c=1，
∴a=2，c=1，
故b²=a²-c²=3，
∴橢圓的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（2）①當k不存在時，$A（0，-\sqrt{3}）$，$B（0，\sqrt{3}）$，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=（0，-\sqrt{3}）•（0，\sqrt{3}）=-3$；
②當k存在時，設直線方程為y=kx+2，則有$\left\{\begin{array}{l}y=kx+2\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$，整理得（3+4k²）x²+16kx+4=0，
∴${x_1}+{x_2}=-\frac{16k}{{3+4{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{4}{{3+4{k^2}}}$，（i）
又$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}={x_1}{x_2}+（k{x_1}+2）（k{x_2}+2）$，
=（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4，
=$1+\frac{1}{{3+4{k^2}}}-\frac{{32{k^2}+24-24}}{{3+4{k^2}}}+4$，
=$-3+\frac{25}{{3+4{k^2}}}$，（ii）
△=256k²-16（4k²+3）＞0，從而${k^2}＞\frac{1}{4}$，（iii）
（iii）代入（ii）中$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}≤-3+\frac{25}{3+1}=\frac{13}{4}$，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}∈（-∞，\frac{13}{4}]$．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，考查直線與橢圓的位置關系，韋達定理，向量數(shù)量積的坐標運算，圓錐曲線與函數(shù)的單調性與最值得關系，考查計算能力，屬于中檔題．