Question

19．如圖邊長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分別是CC₁，B₁C₁的中點，
（Ⅰ）證明：A₁N∥平面AMD₁；
（Ⅱ）求二面角M-AD₁-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以D為原點，DA、DC、DD₁為軸建立空間直角坐標系，利用向量法能證明A₁N∥平面AMD₁．
（Ⅱ）求出平面ADD₁的一個法向量和平面AMD₁的法向量，利用向量法能求出二面角M-AD₁-D的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）以D為原點，DA、DC、DD₁為軸建立如圖直角坐標系．…（1分）
則A₁（2，0，2），N（1，2，2），M（0，2，1），A（2，0，0），D₁（0，0，2）．
$\overrightarrow{{A_1}N}=（-1，2，0），\overrightarrow{AM}=（-2，2，1），\overrightarrow{A{D_1}}=（-2，0，2）$．…（2分）
設平面AMD₁的法向量是$\overrightarrow n=（x，y，z）$．
則$\left\{\begin{array}{l}-2x+2y+z=0\\-2x+2z=0\end{array}\right.$．…（3分）取x=1，得$\overrightarrow n=（1，\frac{1}{2}，1）$．…（4分）
所以$\overrightarrow{{A_1}N}•\overrightarrow n=（-1）×1+2×\frac{1}{2}=0$，即$\overrightarrow{{A_1}N}⊥\overrightarrow n$．…（5分）
又A₁N?平面AMD₁．∴A₁N∥平面AMD₁．…（6分）
解：（Ⅱ）平面ADD₁的一個法向量為$\overrightarrow m=（0，1，0）$，…（8分）
平面AMD₁的法向量是$\overrightarrow n=（1，\frac{1}{2}，1）$．
由（Ⅰ）得$cos＜\overrightarrow n，\overrightarrow m＞=\frac{\overrightarrow n•\overrightarrow m}{|\overrightarrow n|•|\overrightarrow m|}=\frac{{\frac{1}{2}}}{{\sqrt{{1^2}+{1^2}+{{（\frac{1}{2}）}^2}}}}=\frac{1}{3}$．…（11分）
由圖形得二面角M-AD₁-D的平面角是銳角，
所以二面角M-AD₁-D的余弦值是$\frac{1}{3}$．…（12分）

點評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．