Question

4．如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，∠BAD=60°，DE⊥AB于點(diǎn)E，將△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁E⊥EB．
（1）求證：A₁D⊥DC；
（2）求直線ED與平面A₁BC所成角的正弦值；
（3）求二面角E-A₁B-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由題意知EA₁，EB，ED兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明A₁D⊥DC．
（2）求出直線ED向量和平面A₁BC的一個(gè)法向量，利用向量法能求出直線ED與平面A₁BC所成角的正弦值．
（3）求出平面EA₁B的法向量和平面A₁BC法向量，利用向量的數(shù)量積求解二面角E-A₁B-C的余弦值．

解答 證明：（1）∵在邊長為4的菱形ABCD中，∠BAD=60°，DE⊥AB于點(diǎn)E，
將△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁E⊥EB．
∴由題意知EA₁，EB，ED兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，
由題意得DE=2$\sqrt{3}$，從而A₁（2，0，0），B（0，2，0），C（0，4，2$\sqrt{3}$），D（0，0，2$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（-2，0，2$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{DC}$=（0，4，0），
∵$\overrightarrow{{A}_{1}D}$•$\overrightarrow{DC}$=0，∴A₁D⊥DC．
（2）設(shè)平面A₁BC的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{B{A}_{1}}=2x-2y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=2y+2\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，令z=1，則$\overrightarrow{m}$=（-$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$，1），
$\overrightarrow{ED}$=（0，0，2$\sqrt{3}$），
直線ED與平面A₁BC所成角的正弦值：$|\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{ED}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{ED}|}|$=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3+3+1}•2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{7}}{7}$．
（3）解：平面A₁BE的一個(gè)向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
$\overrightarrow{{BA}_{1}}$=（2，-2，0），$\overrightarrow{BC}$=（0，2，2$\sqrt{3}$），
設(shè)平面A₁BC的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{B{A}_{1}}=2x-2y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=2y+2\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，令z=1，則$\overrightarrow{m}$=（-$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$，1），
∴cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
∴二面角E-A₁B-C的余弦值為-$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

點(diǎn)評 本題考查線線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查線段比值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．