Question

11．如圖，在四棱錐S-ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，SA=AB=AD=1，BC=2．
（1）求異面直線BC與SD所成角的大��；
（2）求直線SC與平面SAB所成角的正切值；
（3）求三棱錐D-SBC的體積．

Answer 1

分析 （1）由AD∥BC，知異面直線BC與SD所成角是∠SDA或其補(bǔ)角，由此能求出異面直線BC與SD所成角的大小．
（2）推導(dǎo)出SA⊥BC，AB⊥BC，從而B(niǎo)C⊥面SAB，進(jìn)而SB是SC在平面SAB上的射影，∠CSB是SC與底面SAB所成角，由此能求出SC與底面SAB所成角的正切值．
（3）三棱錐D-SBC的體積：V_D-SBC=V_A-SBC=V_S-ABC，由此能求出結(jié)果．

解答 解：（1）∵AD∥BC，∴異面直線BC與SD所成角是∠SDA或其補(bǔ)角，
∵SA⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，
∴SA⊥AD，在Rt△SAD中，∵SA=AD，∴∠SDA=45°，
∴異面直線BC與SD所成角的大小為45^o．
（2）∵SA⊥面ABCD，BC?面ABCD，∴SA⊥BC，
又∵AB⊥BC，SA∩AB=A，
∴BC⊥面SAB，
∴SB是SC在平面SAB上的射影，
∴∠CSB是SC與底面SAB所成角
在Rt△CSB中tan∠CSB=$\frac{BC}{SC}=\frac{2}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$，
∴SC與底面SAB所成角的正切值為$\sqrt{2}$．
（3）∵AD∥BC，∴D到平面SBC的距離與A到平面SBC的距離相等，
∵SA⊥平面ABC，
∴三棱錐D-SBC的體積：
V_D-SBC=V_A-SBC=V_S-ABC
=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}×SA$=$\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×1×2）×1$=$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的求法，考查線面角的正弦值的求法，考查三棱錐的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系的合理運(yùn)用，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查創(chuàng)新意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)，是中檔題．