Question

2．如圖，過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F作一條傾斜角為$\frac{π}{4}$的直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)．
（1）用p表示|AB|；
（2）若$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-3，求這個拋物線的方程．

Answer 1

分析 （1）將直線方程與拋物線方程聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系和拋物線的定義得出|AB|；
（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系用p表示出x₁x₂，y₁y₂，根據(jù)$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-3列方程解出p，從而得出拋物線方程．

解答 解：（1）拋物線的焦點(diǎn)為F（$\frac{p}{2}$，0），過點(diǎn)F且傾斜角為$\frac{π}{4}$的直線方程為y=x-$\frac{p}{2}$．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2px}\\{y=x-\frac{p}{2}}\end{array}\right.$，得x²-3px+$\frac{{p}^{2}}{4}$=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=3p，
∴|AB|=x₁+x₂+p=4p．
（2）由 （1）知x₁+x₂=3p，x₁x₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$，
∴y₁y₂=（x₁-$\frac{p}{2}$）（x₂-$\frac{p}{2}$）=x₁x₂-$\frac{p}{2}$（x₁+x₂）+$\frac{{p}^{2}}{4}$=$\frac{{p}^{2}}{4}$-$\frac{3{p}^{2}}{2}$+$\frac{{p}^{2}}{4}$=-p²，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$-p²=-$\frac{3{p}^{2}}{4}$=-3，解得p²=4，∴p=2．
∴拋物線的方程為y²=4x．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線的定義與性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，注意根與系數(shù)的關(guān)系運(yùn)用，屬于中檔題．