Question

16．已知函數(shù)f（x）=（x²+ax-a）•e^1-x，其中a∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f'（x）的零點個數(shù)；
（Ⅱ）證明：a≥0是函數(shù)f（x）存在最小值的充分而不必要條件．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求導(dǎo)，再由導(dǎo)函數(shù)為0，解得即可；
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）分類討論，分別利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值的關(guān)系以及充分不必要條件的定義即可證明．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=（x²+ax-a）•e^1-x，
得f′（x）=（2x+a）e^1-x-（x²+ax-a）•e^1-x=-[x²+（a-2）x-2a]•e^1-x=-（x+a）（x-2）•e^1-x，
令f′（x）=0，得x=2，或x=-a．
所以當(dāng)a=-2時，函數(shù)f′（x）有且只有一個零點：x=2；
當(dāng)a≠-2時，函數(shù)f′（x）有兩個相異的零點：x=2，x=-a．
（Ⅱ）證明：①當(dāng)a=-2時，f′（x）≤0恒成立，此時函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減，
所以，函數(shù)f（x）無極值．
②當(dāng)a＞-2時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-a）	-a	（-a，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	極小值	↗	極大值	↘

所以，a≥0時，f（x）的極小值為f（-a）=-ae^1+a≤0．
又x＞2時，x²+ax-a＞2²+2a-a=a+4＞0，
所以，當(dāng)x＞2時，f（x）=）=（x²+ax-a）•e^1-x＞0恒成立．
所以，f（-a）=-ae^1+a為f（x）的最小值．
故a≥0是函數(shù)f（x）存在最小值的充分條件．
③當(dāng)a=-5時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，2）	2	（2，5）	5	（5，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	極小值	↗	極大值	↘

因為當(dāng)x＞5時，f（x）=（x²-5x+5）e^1-x＞0，
又f（2）=-e^-1＜0，
所以，當(dāng)a=-5時，函數(shù)f（x）也存在最小值．
所以，a≥0不是函數(shù)f（x）存在最小值的必要條件．
綜上，a≥0是函數(shù)f（x）存在最小值的充分而不必要條件．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的極值和最值的關(guān)系，考查了學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于難題．