Question

10．設(shè)函數(shù)$f（x）=\frac{a}{x^2}+lnx，a∈R$．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）如果對任意的$x∈[{\frac{1}{2}，2}]$，都有$f（x）≥\frac{1}{x}$恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）問題等價(jià)于當(dāng)x∈[$\frac{1}{2}$，2]時(shí)，a≥x-x²lnx恒成立，記H（x）=x-x²lnx，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出H（x）的最大值，從而求出a的范圍即可．

解答 解：（1）f′（x）=-$\frac{2a}{{x}^{3}}$+$\frac{1}{x}$=$\frac{{x}^{2}-2a}{{x}^{3}}$，（x＞0），
a≤0時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）遞增，
a＞0時(shí)，令f′（x）＞0，得x＞$\sqrt{2a}$，即函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間是（$\sqrt{2a}$，+∞），
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\sqrt{2a}$，
即函數(shù)f（x）的遞減區(qū)間是（0，$\sqrt{2a}$）；
（2）問題等價(jià)于當(dāng)x∈[$\frac{1}{2}$，2]時(shí)，a≥x-x²lnx恒成立，
記H（x）=x-x²lnx，∴a≥H（x）_max，H′（x）=1-2xlnx-x，H′（1）=0，
令m（x）=1-2xlnx-x，∴m′（x）=-3-2lnx，
由于x∈[$\frac{1}{2}$，2]，m′（x）=-3-2lnx＜0，
∴m（x）=1-2xlnx-x在[$\frac{1}{2}$，2]遞減，
x∈[$\frac{1}{2}$，1]時(shí)，H′（x）＞0，x∈（1，2]時(shí)，H′（x）＜0，
即函數(shù)H（x）=x-x²lnx在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，1]遞增，在區(qū)間（1，2]遞減，
∴H（x）_max=H（1）=1，從而a≥1．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．