Question

20．在直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線${C_1}：\left\{{\begin{array}{l}{x=t+\frac{1}{t}}\\{y=t-\frac{1}{t}}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)），曲線${C_2}：\left\{{\begin{array}{l}{x=acosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數(shù)，a＞1），若C₁恰好經(jīng)過C₂的焦點(diǎn)，則a的值為$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 求出曲線C₁的普通方程為x²-y²=4，曲線C₂的普通方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}$=1，a＞1，由此能求出結(jié)果．

解答 解：∵曲線${C_1}：\left\{{\begin{array}{l}{x=t+\frac{1}{t}}\\{y=t-\frac{1}{t}}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)），曲線${C_2}：\left\{{\begin{array}{l}{x=acosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數(shù)，a＞1），
∴曲線C₁的普通方程為x²-y²=4，
曲線C₂的普通方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}$=1，a＞1，
∵C₁恰好經(jīng)過C₂的焦點(diǎn)（$±\sqrt{{a}^{2}-1}$，0），
∴a²-1=4，解得a=$\sqrt{5}$．
故答案為：$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意參數(shù)方程、普通方程的互化及橢圓、雙曲線性質(zhì)的合理運(yùn)用．