Question

6．已知圓心在直線y=x+4上，半徑為$2\sqrt{2}$的圓經(jīng)過原點O．
（1）求圓C的方程；
（2）求經(jīng)過點（0，2），且被圓C截得弦長為4的直線的方程；
（3）設直線l：y=x+m，當m為何值時，直線與圓相切．

Answer 1

分析 （1）設圓心C（a，a+4），則圓的方程為（x-a）²+（y-a-4）²=8，由該圓過原點，解得a=-2，由此能求出圓的方程．
（2）當直線斜率不存在時，直線方程為x=0，經(jīng)檢驗符合題意，當直線斜率存在時，設直線方程為y=kx+2，圓心到y(tǒng)=kx+2的距離d=$\frac{|2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，圓的半徑r=2$\sqrt{2}$，從而1+k²=k²，無解，由此能求出直線方程．
（3）由直線l：y=x+m與圓相切，得到$\frac{|-2-2+m|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$=2$\sqrt{2}$，由此能求出直線與圓相切時的m的值．

解答 解：（1）設圓心C（a，a+4），則圓的方程為（x-a）²+（y-a-4）²=8，
又該圓過原點，∴a²+（a+4）²=8，解得a=-2，
∴所求的圓的方程為（x+2）²+（y-2）²=8．
（2）當直線斜率不存在時，直線方程為x=0，經(jīng)檢驗符合題意，
當直線斜率存在時，設直線方程為y=kx+2，
由圓心到y(tǒng)=kx+2的距離為：
d=$\frac{|-2k-2+2|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{|2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
又圓的半徑r=2$\sqrt{2}$，∴${2}^{2}+\frac{4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$=8，
解得1+k²=k²，無解，
綜上，直線方程為x=0．
（3）∵直線l：y=x+m與圓相切，
∴$\frac{|-2-2+m|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$=2$\sqrt{2}$，
∴|m-4|=4，解得m=0或m=8，
∴當m=0或m=8時，直線y=x+m與圓C相切．

點評 本題考查圓的方程、直線方程、實數(shù)值的求法，涉及到圓、直線方程、點到直線的距離公式、直線與圓相切等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．