【題目】在平面直角坐標系xoy中,以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線E的極坐標方程為,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).點P為曲線E上的動點,點Q為線段OP的中點.
(1)求點Q的軌跡(曲線C)的直角坐標方程;
(2)若直線l交曲線C于A,B兩點,點恰好為線段AB的三等分點,求直線l的普通方程.
【答案】(1);(2)或.
【解析】
(1)設(shè)點Q,P的極坐標分別為,,由題意可得,由極坐標方程與直角坐標方程的轉(zhuǎn)化公式即可得解;
(2)直線參數(shù)方程代入曲線C的方程得,化簡后利用韋達定理結(jié)合題意即可得解.
(1)設(shè)點Q,P的極坐標分別為,,
則且,,
所以,
所以點Q軌跡的極坐標方程為,
故Q軌跡的直角坐標方程為;
(2)由(1)得曲線C的直角坐標方程為,
將直線參數(shù)方程代入曲線C的方程得,
即,,
由點恰好為線段AB的三等分點,不妨設(shè)方程兩根為,
所以,即,所以,
又與在一、三象限同號,二、四象限異號,
所以直線的斜率,又直線過,
故直線的普通方程為或.
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【題目】如圖,在三棱柱中,,側(cè)面為矩形,.將繞翻折至,使在平面內(nèi).
(1)求證:平面;
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
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【題目】已知點A(0,4),拋物線C:x2=2py(0<p<4)的準線為1,點P在C上,作PH⊥l于H,且|PH|=|PA|,∠APH=120°,則拋物線方程為_____.
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【題目】已知實數(shù)x,y滿足x+4y=2.
(1)若|1+y|<|x|﹣2,求x的取值范圍;
(2)若x>0,y>0,求的最小值.
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【題目】已知拋物線C:,過點且互相垂直的兩條動直線,與拋物線C分別交于P,Q和M,N.
(1)求四邊形面積的取值范圍;
(2)記線段和的中點分別為E,F,求證:直線恒過定點.
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【題目】己知函數(shù)的定義域是,對任意的,有.當時,.給出下列四個關(guān)于函數(shù)的命題:
①函數(shù)是奇函數(shù);
②函數(shù)是周期函數(shù);
③函數(shù)的全部零點為,;
④當算時,函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有且只有4個公共點.
其中,真命題的個數(shù)為( )
A.1B.2C.3D.4
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【題目】國際上通常用年齡中位數(shù)指標作為劃分國家或地區(qū)人口年齡構(gòu)成的標準:年齡中位數(shù)在20歲以下為“年輕型”人口;年齡中位數(shù)在20~30歲為“成年型”人口;年齡中位數(shù)在30歲以上為“老齡型”人口.
如圖反映了我國全面放開二孩政策對我國人口年齡中位數(shù)的影響.據(jù)此,對我國人口年齡構(gòu)成的類型做出如下判斷:①建國以來直至2000年為“成年型”人口;②從2010年至2020年為“老齡型”人口;③放開二孩政策之后我國仍為“老齡型”人口.其中正確的是( )
A.②③B.①③C.②D.①②
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【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以直角坐標系的原點為極點,軸的正半軸為極軸建立坐標系,曲線的極坐標方程為.
(1)求的普通方程和的直角坐標方程;
(2)若過點的直線與交于,兩點,與交于,兩點,求的取值范圍.
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