已知向量
a
=（2cos
x
2
，1），
b
=（cos
π+x
2
，3cosx），
（1）當(dāng)
a
⊥
b
時，求cos2x-sin2x的值；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=（
a
-
b
）•
a
，在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，且f（A）=4，a=
10
，求△ABC的面積S的最大值．
分析：（1）利用向量的數(shù)量積公式計算，可得tanx=3，再將弦化切，即可求得結(jié)論；
（2）先確定并化簡函數(shù)解析式，利用f（A）=4，求出A，根據(jù)a=
10
，可得b2+c2=10，利用基本不等式，可得△ABC的面積S的最大值．
解答：解：（1）由題意，可得2cos
x
2
cos
π+x
2
+3cosx=0
∴-sinx+3cosx=0，∴tanx=3
∴cos2x-sin2x=
cos2x-sin2x
cos2x+sin2x
=
1-2tanx
1+tan2x
=-
1
2
；
（2）f（x）=（2cos
x
2
+sin
x
2
，1-3cosx）•（2cos
x
2
，1）=sinx-cosx+3=
2
sin（x-
π
4
）+3
∵f（A）=4，∴
2
sin（A-
π
4
）+3=4，∴sin（A-
π
4
）=
2
2

∵A∈（0，π），∴A-
π
4
=
π
4
，∴A=
π
2

∵a=
10
，∴b2+c2=10
∴△ABC的面積S=
1
2
bc≤
1
2
×
1
2
（b2+c2）=
5
2
，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=
5
時等號成立
∴△ABC的面積S的最大值為
5
2
點評：本題考查向量知識的運用，考查三角函數(shù)的化簡，考查三角形面積的計算，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=（2cosx，cos2x），
b
=（sinx，1），令f（x）=
a
•
b
，
（I）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[
π
8
，
3π
8
]且f（x）=
2
2
，求cos2x的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=（2cosx，2sinx），
b
=(cosx，-
3
cosx)，函數(shù)f（x）=
a
•
b
，g(x)=f(
π
6
x+
π
3
)+ax（a為常數(shù)）．
（1）求函數(shù)f（x）圖象的對稱軸方程；
（2）若函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，求g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2011）的值；
（3）已知對任意實數(shù)x1，x2，都有|cos
π
3
x1-cos
π
3
x2|≤
π
3
|x1-x2|成立，當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時取“=”．求證：當(dāng)a＞
2π
3
時，函數(shù)g（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=（2cosx，sin2x），
b
=（2sinx，cos2x）（x∈R），且f（x）=|
a
|-|
b
|，則f（x）的最大值
1
1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知向量
a
=（2cosx，2sinx），
b
=(cosx，-
3
cosx)，函數(shù)f（x）=
a
•
b
，g(x)=f(
π
6
x+
π
3
)+ax（a為常數(shù)）．
（1）求函數(shù)f（x）圖象的對稱軸方程；
（2）若函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，求g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2011）的值；
（3）已知對任意實數(shù)x1，x2，都有|cos
π
3
x1-cos
π
3
x2|≤
π
3
|x1-x2|成立，當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時取“=”．求證：當(dāng)a＞
2π
3
時，函數(shù)g（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知向量
a
=（2cosx，cos2x），
b
=（sinx，1），令f（x）=
a
•
b
，
（I）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[
π
8
，
3π
8
]且f（x）=
2
2
，求cos2x的值．

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