Question

3．設(shè)a=${∫}_{0}^{π}$（sinx+cosx）dx，且二項式（a$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ的所有二項式系數(shù)之和為64，則其展開式中含x²項的系數(shù)是（　　）

• A． -192
• B． 192
• C． -6
• D． 6

Answer 1

分析 先求定積分得出a的值，二項式（a$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ的所有二項式系數(shù)之和為64，求出n的值，再在二項式展開式的通項公式中，再令x的系數(shù)等于2，求得r的值，即可求得展開式中含x²項的系數(shù)．

解答 解：a=${∫}_{0}^{π}$（sinx+cosx）dx=（sinx-cosx）${|}_{0}^{\frac{π}{2}}$=2，
∵二項式（a$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ的所有二項式系數(shù)之和為64，
∴n=6，
∴二項式（2$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁶的展開式的通項公式為T_r+1=（-1）^r•${C}_{6}^{r}•{2}^{6-r}$x^3-r．
令3-r=2，解得 r=1，故展開式中含x²項的系數(shù)是-6×2⁵=-192，
故選：A．

點評 本題主要考查求定積分，二項式定理的應(yīng)用，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，屬于中檔題．