Question

13．某地區(qū)2012年至2016年農(nóng)村居民家庭人均純收入y（單位：千元）的數(shù)據(jù)如表：

年份	2012	2013	2014	2015	2016
年份代號(hào)t	1	2	3	4	5
人均純收入y	5	6	7	8	10

（1）求y關(guān)于t的線性回歸方程；
（2）利用（1）中的回歸方程，分析2012年至2016年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預(yù)測(cè)該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入在哪一年約為10.8千元．
附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）2}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{t}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)據(jù)求出樣本平均數(shù)以及對(duì)應(yīng)的系數(shù)即可求y關(guān)于t的線性回歸方程；
（2）根據(jù)條件進(jìn)行估計(jì)預(yù)測(cè)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）由所給數(shù)據(jù)計(jì)算得
$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×（1+2+3+4+5）=3，-----------------------（1分）
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（5+6+7+8+10）=7.2，-----------------（2分）
$\sum_{i=1}^5{{{（{t_i}-\overline t）}^2}}$=4+1+0+1+4=10，--------------------（3分）
$\sum_{i=1}^5{（{t_i}-\overline t）（{y_i}-\overline y）}$=（-2）×（-2.2）+（-1）×（-1.2）+0×（-0.2）+1×0.8+2×2.8=12，-----------------（4分）
$\stackrel{∧}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{（{t_i}-\overline t）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{t_i}-\overline t）}^2}}}}$=$\frac{12}{10}$=1.2，--------------------（5分）
$\stackrel{∧}{a}$=7.2-1.2×3=3.6，--------------------（6分）
所求回歸方程為y=1.2t+3.6．---------------------（7分）
（2）由（1）知，$\stackrel{∧}$=1.2＞0，故2012年至2016年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入逐年增加，平均每年增加1.2千元．
令1.2t+3.6=10.8，解得t=6-------（9分）
故預(yù)測(cè)該地區(qū)2017年農(nóng)村居民家庭人均純收入約為10.8千元．---------------------（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性回歸方程的求解以及應(yīng)用，根據(jù)數(shù)據(jù)求出相應(yīng)的系數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運(yùn)算能力．