Question

14．如圖，將1，2，3，4任意排成2行2列的田字形數(shù)表．
（1）求對角線上數(shù)字之和相等的概率；
（2）設每行中的任意兩個數(shù)a，b（a＞b）的比值為$\frac{a}$，記這兩個比值中的最小值為X，求X的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （1）求出將1，2，3，4任意排成2行2列的田字形數(shù)表的方法種數(shù)，結合1+4=2+3求得對角線上數(shù)字之和相等的個數(shù)，再由古典概型概率計算公式求解；
（2）由題意得到X的所有可能取值，分別求其概率，可得分布列，進一步求得數(shù)學期望．

解答 解：（1）將1，2，3，4任意排成2行2列的田字形數(shù)表共有${A}_{4}^{4}=24$種不同排法．
∵1+4=2+3，∴對角線上數(shù)字之和相等共有$2{A}_{2}^{2}{A}_{2}^{2}=8$種．
∴對角線上數(shù)字之和相等的概率為$\frac{8}{24}=\frac{1}{3}$；
（2）X=$\frac{4}{3}，\frac{3}{2}，2$．
則P（x=$\frac{4}{3}$）=$\frac{1}{3}$，P（x=$\frac{3}{2}$）=$\frac{1}{3}$，P（x=2）=$\frac{1}{3}$．
故X的分布列為

X	$\frac{4}{3}$	$\frac{3}{2}$	2
p	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$

EX=$（\frac{4}{3}+\frac{3}{2}+2）×\frac{1}{3}=\frac{29}{18}$．

點評 本題考查離散型隨機變量的期望與方差，考查利用排列組合知識求古典概型的概率，是中檔題．