Question

2．《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．
在如圖所示的陽馬P-ABCD中，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，點(diǎn)E是PC的
中點(diǎn)，連接DE，BD，BE．
（Ⅰ）證明：DE⊥平面PBC．試判斷四面體EBCD是否為鱉臑，若是，寫出其每個(gè)面的直角（只需寫出結(jié)論）；若不是，請(qǐng)說明理由；
（Ⅱ）記陽馬P-ABCD的體積為V₁，四面體EBCD的體積為V₂，求$\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$的值．
（理科專用）（Ⅲ）若面DEF與面ABCD所成二面角的大小為$\frac{π}{3}$，求$\frac{DC}{BC}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出PD⊥BC，BC⊥CD，BC⊥DE，DE⊥PC，由此能證明DE⊥平面PBC．從而得到四面體EBCD是鱉臑．其余四個(gè)直角分別為∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB．
（Ⅱ）PD是陽馬P-ABCD的高，DE是鱉臑D-BCE的高，BC⊥CE，DE=CE=$\frac{\sqrt{2}}{2}CD$，由此能求出$\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$的值．
（Ⅲ）在面PBC內(nèi)，延長(zhǎng)BC與FE交于點(diǎn)G，則DG是平面DEF與平面ABCD的交線，∠BDF是面DEF與面ABCD所成二面角的平面角，由此能求出結(jié)果．

解答 證明：（Ⅰ）∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC，
由底面ABCD為長(zhǎng)方形，得BC⊥CD，
∵PD∩CD=D，∴BC⊥平面PCD，
∵DE?平面PCD，∴BC⊥DE，
又∵PD=CD，點(diǎn)E是PC 的中點(diǎn)，∴DE⊥PC，
∵PC∩BC=C，∴DE⊥平面PBC．
由BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，知四面體EBCD的四個(gè)面都是直角三角形，
∴四面體EBCD是鱉臑．
其余四個(gè)直角分別為∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB．
解：（Ⅱ）由已知，PD是陽馬P-ABCD的高，
∴${V}_{1}=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}•PD=\frac{1}{3}×BC×CD×PD$，
由（Ⅰ）知，DE是鱉臑D-BCE的高，BC⊥CE，
∴${V}_{2}=\frac{1}{3}{S}_{△BCE}•DE=\frac{1}{6}×BC×CE×DE$，
在Rt△PDC中，∵PD=CD，
點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，
∴DE=CE=$\frac{\sqrt{2}}{2}CD$，
∴$\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$=$\frac{\frac{1}{3}×BC×CD×PD}{\frac{1}{6}×BC×CE×DE}$=$\frac{2CD×PD}{CE×DE}$=4．
（Ⅲ）如圖，在面PBC內(nèi)，延長(zhǎng)BC與FE交于點(diǎn)G，則DG是平面DEF與平面ABCD的交線．
由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以PB⊥DG．
又因?yàn)镻D⊥底面ABCD，所以PD⊥DG．而PD∩PB=P，所以DG⊥平面PBD．
故∠BDF是面DEF與面ABCD所成二面角的平面角，
設(shè)PD=DC=1，BC=λ，有BD=$\sqrt{1+{λ}^{2}}$，
在Rt△PDB中，由DF⊥PB，得∠DPF=∠FDB=$\frac{π}{3}$，
則 tan$\frac{π}{3}$=tan∠DPF=$\frac{BD}{PD}$=$\sqrt{1+{λ}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
解得λ=$\sqrt{2}$．所以$\frac{DC}{BC}$=$\frac{1}{λ}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查四面體EBCD是否為鱉臑的判斷，考查兩個(gè)幾何體的體積的比值的求法，考查線段比值的求法，是中檔題，解時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．