Question

11．如圖，已知拋物線C：y²=2px（p＞0），焦點為F，過點G（p，0）任作直線l交拋物線C于A，M兩點，設(shè)A（x₁，y₁），M（x₂，y₂）．
（1）證明：y₁y₂為常數(shù)，并求當y₁y₂=-8時拋物線C的方程；
（2）若直線AF與x軸不垂直，直線AF交拋物線C于另一點B，直線BG交拋物線C于另一點N．求證：直線AB與直線MN斜率之比為定值．

Answer 1

分析 （1）代入拋物線方程，利用韋達定理即可求得y₁y₂常數(shù)，-2p²=-8，即可求得p的值；
（2）求出y₃•y₄=-2p²，y₁•y₃=-p²，即可求出直線AB與直線MN斜率之比．

解答 解：（1）證明：設(shè)直線AM的方程為x=my+p，
代入拋物線方程$\left\{\begin{array}{l}{x=my+p}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，整理得y²-2mpy-2p²=0，
由韋達定理可知：y₁•y₂=-2p²為定值；
由y₁•y₂=-2p²=-8，
∴p=2，
∴拋物線C：y²=4x；
（Ⅱ）證明設(shè)B（x₃，y₃），N（x₄，y₄），
設(shè)直線NB：x=ny+p，代入拋物線方程，可得，y²-2pny-2p²=0，
則y₃•y₄=-2p²，同理可知y₁•y₂=-2p²，
y₁•y₃=-p²，
∴直線AB與直線MN斜率之比為$\frac{\frac{2p}{{y}_{1}+{y}_{3}}}{\frac{2p}{{y}_{2}+{y}_{4}}}$=$\frac{{y}_{2}+{y}_{4}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{\frac{-2p}{{y}_{1}{y}_{3}}（{y}_{1}+{y}_{3}）}{{y}_{1}+{y}_{3}}$=2．

點評 本題考查拋物線的方程與性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，韋達定理的應(yīng)用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．