Question

12．如圖，在△ABC中，∠B=30°，AC=2$\sqrt{5}$，D是邊AB上一點．
（1）求△ABC面積的最大值；
（2）若CD=2，△ACD的面積為4，∠ACD為銳角，求BC的長．

Answer 1

分析 （1）在△ABC中，由余弦定理，基本不等式可求$AB•BC≤\frac{20}{{2-\sqrt{3}}}=20（{2+\sqrt{3}}）$，進而利用三角形面積公式即可計算得解△ABC的面積的最大值．
（2）設(shè)∠ACD=θ，由已知及三角形面積公式可求sinθ，進而利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosθ，利用余弦定理可求AD的值，進而利用正弦定理可求BC的值．

解答 解：（1）∵在△ABC中，$∠B={30^0}，AC=2\sqrt{5}$，
∴由余弦定理，得AC²=20=AB²+BC²-2AB•BC•cos∠ABC
=$A{B^2}+B{C^2}-\sqrt{3}AB•BC≥（{2-\sqrt{3}}）AB•BC$，
∴$AB•BC≤\frac{20}{{2-\sqrt{3}}}=20（{2+\sqrt{3}}）$，
當且僅當AB=BC時，取等號，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}AB•BCsinB≤5（{2+\sqrt{3}}）$，
∴△ABC的面積的最大值為$5（{2+\sqrt{3}}）$；
（2）設(shè)∠ACD=θ，在△ACD中，
∵CD=2，△ACD的面積為4，∠ACD為銳角，
∴${S_{△ACD}}=\frac{1}{2}AC•CD•sinθ=\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×2sinθ=4$，
∴$sinθ=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，∴$cosθ=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
由余弦定理，得$A{D^2}=A{C^2}+C{D^2}-2AC•CD•cosθ=20+4-8\sqrt{5}×\frac{{\sqrt{5}}}{5}=16$，
∴AD=4．
由正弦定理，得$\frac{AD}{sinθ}=\frac{CD}{sinA}$，∴$\frac{4}{sinθ}=\frac{2}{sinA}$，∴$sinA=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
此時$\frac{BC}{sinA}=\frac{AC}{sinB}$，∴$BC=\frac{ACsinA}{sinB}=4$，
∴BC的長為4．

點評 本題主要考查了余弦定理，基本不等式，三角形面積公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，正弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．