Question

1．已知sinα=2sinβ，tanα=3tanβ，則cos2α=$-\frac{1}{4}$或1．

Answer 1

分析 由條件可得sinβ=$\frac{1}{2}$sinα ①，cosβ=$\frac{3}{2}$cosα ②，或sinα=0 ③．把①、②平方相加即可求得cos²α 的值；由③再得到一個(gè)cos²α的值，進(jìn)而利用二倍角公式可得結(jié)論．

解答 解：∵已知sinα=2sinβ，∴sinβ=$\frac{1}{2}$sinα ①．
∵tanα=3tanβ，∴$\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{3sinβ}{cosβ}$，可得 cosβ=$\frac{3}{2}$cosα  ②，或sinα=0 ③．
若②成立，則把①、②平方相加可得 1=$\frac{1}{4}$sinα²+$\frac{9}{4}$cos²α=$\frac{1}{4}$+2cos²α，
解得 cos²α=$\frac{3}{8}$．可得：cos2α=2cos²α-1=$-\frac{1}{4}$，
若③成立，則有cos²α=1．可得：cos2α=2cos²α-1=1，
綜上可得，cos2α=$-\frac{1}{4}$，或cos2α=1．
故答案為：$-\frac{1}{4}$，或1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于中檔題．