Question

17．過(guò)x軸下方的一動(dòng)點(diǎn)P作拋物線C：x²=2y的兩切線，切點(diǎn)分別為A，B，若直線AB到圓x²+y²=1相切，則點(diǎn)P的軌跡方程為（　　）

• A． y²-x²=1（y＜0）
• B． （y+2）²+x²=1
• C． ${x^2}+\frac{y^2}{4}=1（y＜0）$
• D． x²=-y-1

Answer 1

分析 設(shè)拋物線的弦AB與圓x²+y²=1切于點(diǎn)M（x₀，y₀），則x₀²+y₀²=1，過(guò)M點(diǎn)的圓的切線方程為x₀x+y₀y=1．聯(lián)立拋物線方程后，根據(jù)△＞0，可得y₀的范圍，進(jìn)而結(jié)合-1≤y₀≤1且y₀＜0，可得y₀的范圍．設(shè)出A，B的坐標(biāo)，由韋達(dá)定理可得x₁+x₂的關(guān)系式①，x₁x₂的關(guān)系式②．求出AP，BP的方程，進(jìn)而可得M的坐標(biāo)，代入圓的方程可得P點(diǎn)軌跡方程；

解答 解：設(shè)拋物線的弦AB與圓x²+y²=1切于點(diǎn)M（x₀，y₀），
則x₀²+y₀²=1，過(guò)M點(diǎn)的圓的切線方程為x₀x+y₀y=1．
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}x+{y}_{0}y=1}\\{{x}^{2}=2y}\end{array}\right.$得$\frac{1}{2}$y₀x²+x₀x-1=0．（*）
由△=x₀²+2y₀=-y₀²+2y₀+1＞0，得1-$\sqrt{2}$＜y₀＜1+$\sqrt{2}$．
令A(yù)（x₁，$\frac{1}{2}$x₁²），B（x₂，$\frac{1}{2}$x₂²），知x₁、x₂是方程（*）的兩個(gè)實(shí)根，
由根與系數(shù)的關(guān)系，
得x₁+x₂=-$\frac{{2x}_{0}}{{y}_{0}}$①，x₁x₂=-$\frac{2}{{y}_{0}}$②．
過(guò)A點(diǎn)的拋物線的切線AP的方程為y-$\frac{1}{2}$x₁²=x₁（x-x₁），即y=x₁x-$\frac{1}{2}$x₁²．③
同理，BP的方程為y=x₂x-$\frac{1}{2}$x₂²．④
聯(lián)立①②③④，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}}\\{y=-\frac{1}{{y}_{0}}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=-\frac{x}{y}}\\{{y}_{0}=-\frac{1}{y}}\end{array}\right.$，
代入x₀²+y₀²=1得（$-\frac{x}{y}$）²+（-$\frac{1}{y}$）²=1，
整理，得y²-x²=1（x∈R，-y＜0），這就是點(diǎn)P的軌跡方程．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，直線與圓錐曲線的關(guān)系，綜合性強(qiáng)，運(yùn)算量大，轉(zhuǎn)化困難，難度較大，屬于難題．-