Question

19．數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=4n-1，
（1）求數(shù)列{a_n}前n項的和為S_n；
（2）令b_n=$\frac{S_n}{n}$，求數(shù)列{2ⁿb_n}的前n項的和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n=4n-1，數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，公差d=4，a₁=3，根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式，數(shù)列{a_n}前n項的和為S_n；
（2）由（1）可知：b_n=$\frac{S_n}{n}=2n+1$，2ⁿb_n=（2n+1）×2ⁿ，利用“錯位相減法”即可求得數(shù)列{2ⁿb_n}的前n項的和T_n．

解答 解：（1）∵a_n=4n-1，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，公差d=4，且a₁=4-1=3，
${S_n}=3n+\frac{n（n-1）}{2}×4=2{n^2}+n$；---（6分）
（2）由（1）知b_n=$\frac{S_n}{n}=2n+1$，
顯然數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，且b₁=2+1=3，
則${T_n}=3×2+5×{2^2}+7×{2^3}+$…+（2n+1）×2ⁿ①
2${T_n}=3×{2^2}+5×{2^3}+7×{2^4}+$…+（2n+1）×2ⁿ⁺¹②
①-②得：$-{T_n}=6+{2^3}+{2^4}$+…+2ⁿ⁺¹-（2n+1）×2ⁿ⁺¹=（1-2n）2ⁿ⁺¹-2
∴T_n=2-（1-2n）2ⁿ⁺¹---（12分）

點評 本題考查等差數(shù)列通項公式及前n項和公式，考查利用錯位相減法”求數(shù)列前n項的和，考查計算能力，屬于中檔題．