Question

8．已知數(shù)列a_n=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和？

Answer 1

分析 利用錯(cuò)位相減法即可求出數(shù)列的前n項(xiàng)和．

解答 解：數(shù)列a_n=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
可得S_n=1×（$\frac{1}{2}$）¹+3×（$\frac{1}{2}$）²+5×（$\frac{1}{2}$）³+…+（2n-1）（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
$\frac{1}{2}$S_n=1×（$\frac{1}{2}$）²+3×（$\frac{1}{2}$）³+5×（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（2n-3）（$\frac{1}{2}$）ⁿ+（2n-1）（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
兩式相減得$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{1}{2}$+2×（$\frac{1}{2}$）¹+2×（$\frac{1}{2}$）²+2×（$\frac{1}{2}$）³+2×（$\frac{1}{2}$）⁴+…+2×（$\frac{1}{2}$）ⁿ-（2n-1）（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
=$\frac{1}{2}$+2×$\frac{\frac{1}{2}（1-（\frac{1}{2}）^{n-1}）}{1-\frac{1}{2}}$-（2n-1）（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
∴S_n=3-（n+$\frac{3}{2}$）（$\frac{1}{2}$）^n-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，屬于中檔題．