Question

3．已知點(diǎn)A（-2，0），B（0，1）在橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）P是線(xiàn)段AB上的點(diǎn)，直線(xiàn)y=$\frac{1}{2}$x+m（m≥0）交橢圓C于M、N兩點(diǎn)，若△MNP是斜邊長(zhǎng)為$\sqrt{10}$的直角三角形，求直線(xiàn)MN的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由直線(xiàn)可知：橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，又過(guò)點(diǎn)A，B，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（Ⅱ）將直線(xiàn)方程代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式求得丨MN丨，分類(lèi)，當(dāng)MN為斜邊時(shí)，$\sqrt{10-5{m}^{2}}$=$\sqrt{10}$，即可求得m=0，滿(mǎn)足題意，當(dāng)MN為直角邊時(shí)，兩平行線(xiàn)AB與MN的距離d=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$丨m-1丨，利用勾股定理即可求得m的值，求得直線(xiàn)方程．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知：橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）焦點(diǎn)在x軸上，由點(diǎn)A（-2，0），B（0，1），
則a=2，b=1，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y，整理得$\frac{1}{2}$x²+mx+m²-1=0，
則△=2-m²＞0，x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-2，
則丨MN丨=$\frac{\sqrt{5}}{2}$丨x₁-x₂丨=$\sqrt{10-5{m}^{2}}$，
①當(dāng)MN為斜邊時(shí)，$\sqrt{10-5{m}^{2}}$=$\sqrt{10}$，解得：m=0，
滿(mǎn)足△＞0，
此時(shí)直線(xiàn)MN為直徑的圓方程為x²+y²=$\frac{5}{2}$，
點(diǎn)A（-2，0）B（0，1）分別在圓外和圓內(nèi)，即在線(xiàn)段AB上存在點(diǎn)P．
此時(shí)直線(xiàn)MN的方程誒y=$\frac{1}{2}$x，滿(mǎn)足題意，
②當(dāng)MN為直角邊時(shí)，兩平行線(xiàn)AB與MN的距離d=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$丨m-1丨，
∴d²+丨MN丨²=$\frac{4}{5}$丨m-1丨²+（10-5m²）=10，
即21m²+8m-4=0，
解得：m=$\frac{2}{7}$，m=-$\frac{2}{3}$（舍），
由△＞0，則m=$\frac{2}{7}$，
過(guò)點(diǎn)A作直線(xiàn)MN：y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{2}{7}$的垂線(xiàn)，可得滿(mǎn)足坐標(biāo)為（-$\frac{12}{7}$，-$\frac{4}{7}$），垂足在橢圓外，
即在線(xiàn)段AB上存在點(diǎn)P，
∴直線(xiàn)MN的方程為y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{2}{7}$，符合題意，
綜上可知：直線(xiàn)MN的方程為：y=$\frac{1}{2}$x或y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{2}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．