Question

在已知拋物線y=x²上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)M、N關(guān)于直線y=kx+

9

2

對(duì)稱，則k的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)MN的方程為x+ky+c=0，代入y=x²，得k²y²+（2kc-1）y+c²=0，由判別式△＞0，得2kc＜

1

2

，MN中點(diǎn)縱坐標(biāo)

1-2kc

2k2

，橫坐標(biāo)

2kc-1

2k

-c=-

1

2k

，從而

1-2kc

2k2

=k•(-

1

2k

)+

9

2

=4，由此能求出k的取值范圍．

解答： 解：設(shè)MN的方程為x+ky+c=0  （k≠0）
代入y=x²
y=（ky+c）²
k²y²+（2kc-1）y+c²=0
判別式△=（2kc-1）²-4k²c²＞0，
-4kc+1＞0，2kc＜

1

2

，
MN中點(diǎn)縱坐標(biāo)

1-2kc

2k2

，橫坐標(biāo)

2kc-1

2k

-c=-

1

2k

，
∵中點(diǎn)在y=kx+

9

2

上
∴

1-2kc

2k2

=k•(-

1

2k

)+

9

2

=4
1-2kc=8k²
2kc=1-8k²＜

1

2

∴8k²＞

1

2

，k²＞

1

16

，
解得k＞

1

4

或k＜-

1

4

．
∴k的取值范圍為（-∞，-

1

4

）∪（

1

4

，+∞）．
故答案為：（-∞，-

1

4

）∪（

1

4

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意拋物線的性質(zhì)的合理運(yùn)用．