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15.設(shè)直線l與拋物線x2=2y交于A,B兩點(diǎn),與橢圓x24+y23=1交于C,D兩點(diǎn),直線OA,OB,OC,OD(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率分別為k1,k2,k3,k4.若OA⊥OB.
(Ⅰ)是否存在實(shí)數(shù)t,滿足k1+k2=t(k3+k4),并說明理由;
(Ⅱ)求△OCD面積的最大值.

分析 (Ⅰ)設(shè)直線l的方程為y=kx+b代入拋物線的方程,利用OA⊥OB,求出b,直線與拋物橢圓分別聯(lián)立,利用韋達(dá)定理,即可得出結(jié)論;
(Ⅱ)求出|CD|,O到直線CD的距離,可得△OCD面積,換元,利用基本不等式求△OCD面積的最大值.

解答 解:(Ⅰ)設(shè)直線l的方程為y=kx+b,A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),B(x4,y4),
直線代入拋物線的方程,得x2-2kx-2b=0,
∴x1+x2=2k,x1x2=2b,△=4k2+8b>0
由OA⊥OB,得x1x2+y1y2=0,所以b=2;
聯(lián)立直線與橢圓x24+y23=1方程得(3+4k2)x2+16kx+4=0,
∴x3+x4=-16k3+4k2,x3x4=43+4k2,△′>0得k214
∴k1+k2=k,k3+k4=-6k,
∵k1+k2=t(k3+k4),
∴t=-16;
(Ⅱ)|CD|=1+k2•|x3-x4|=1+k24k213+4k2
∵O到直線CD的距離d-21+k2,
∴S△OCD=12|CD|d=434k213+4k2,
設(shè)4k21=t>0,則S△OCD=43tt2+43,
t=2,即k=±55時(shí),△OCD面積的最大值為3

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線、橢圓的位置關(guān)系,考查三角形面積的計(jì)算,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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