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20.已知拋物線方程為x2=2py(p>0),其焦點(diǎn)為F,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),過焦點(diǎn)F作斜率為k(k≠0)的直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn),過A,B兩點(diǎn)分別作拋物線的兩條切線,設(shè)兩條切線交于點(diǎn)M.
(1)求OAOB;
(2)設(shè)直線MF與拋物線交于C,D兩點(diǎn),且四邊形ACBD的面積為323p2,求直線AB的斜率k.

分析 (1)設(shè)出直線AB的方程,代入拋物線的方程,運(yùn)用韋達(dá)定理和點(diǎn)滿足直線方程,由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示,化簡即可得到所求值;
(2)求得切線的斜率和切線的方程,運(yùn)用弦長公式,可得|AB|,|CD|,求得四邊形ABCD的面積,運(yùn)用對勾函數(shù)的性質(zhì),解方程可得k的值.

解答 解:(1)設(shè)直線AB方程為y=kx+p2Ax1y1Bx2y2,
聯(lián)立直線AB與拋物線方程
{y=kx+p2x2=2py,得x2-2pkx-p2=0,
則x1+x2=2pk,x1x2=-p2,
可得OAOB=x1x2+y1y2=x1x2=x1x2+(kx1+p2)(kx2+p2
=(1+k2)x1x2+p24+pk2(x1+x2
=(1+k2)(-p2)+p24+pk2•2pk=-34p2;
(2)由x2=2py,知y=xp,
可得曲線在A,B兩點(diǎn)處的切線的斜率分別為x1px2p,
即有AM的方程為yy1=x1pxx1,BM的方程為yy2=x2pxx2,
解得交點(diǎn)Mpkp2
kMF=1k,知直線MF與AB相互垂直.
由弦長公式知,|AB|=1+k2x1+x224x1x2
=1+k24p2k2+4p2=2p(1+k2),
1k代k得,|CD|=2p1k2+1
四邊形ACBD的面積S=2p22+k2+1k2=323p2
依題意,得k2+1k2的最小值為103,
根據(jù)fx=x+1xx0的圖象和性質(zhì)得,k2=3或k2=13,
k=±3k=±33

點(diǎn)評 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系,主要是相切的條件,考查直線方程和拋物線方程聯(lián)立,運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式,考查化簡整理的運(yùn)算能力,屬于中檔題.

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組別分組高收入的人數(shù)高收入人數(shù)占本組的比例
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第二組[30,35)360.144
第三組[35,40)480.192
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