Question

13．不等式2x²-2axy+y²≥0對任意x∈[1，2]及任意y∈[1，4]恒成立，則實數(shù)a取值范圍是（-∞，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 不等式等價變化為2a≤$\frac{2{x}^{2}+{y}^{2}}{xy}$=$\frac{2x}{y}$+$\frac{y}{x}$，由x∈[1，2]及y∈[1，4]，求得$\frac{1}{2}$≤$\frac{y}{x}$≤4，運用基本不等式求得$\frac{2x}{y}$+$\frac{y}{x}$的最小值即可．

解答 解：依題意，不等式2x²-2axy+y²≤0等價為2a≤$\frac{2{x}^{2}+{y}^{2}}{xy}$=$\frac{2x}{y}$+$\frac{y}{x}$，
設t=$\frac{y}{x}$，
∵x∈[1，2]及y∈[1，4]，
∴$\frac{1}{2}$≤$\frac{1}{x}$≤1，即$\frac{1}{2}$≤$\frac{y}{x}$≤4，
∴$\frac{1}{2}$≤t≤4，
則$\frac{2x}{y}$+$\frac{y}{x}$=t+$\frac{2}{t}$，
∵t+$\frac{2}{t}$≥2$\sqrt{t•\frac{2}{t}}$=2$\sqrt{2}$，
當且僅當t=$\frac{2}{t}$，即t=$\sqrt{2}$∈[$\frac{1}{2}$，4]時取等號．
∴2a≤2$\sqrt{2}$，
即a≤$\sqrt{2}$，
故答案為：（-∞，$\sqrt{2}$]．

點評 本題主要考查不等式的應用，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵，注意運用基本不等式，屬于中檔題．