Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x-1}$，x∈[2，6]．
（1）證明f（x）是減函數(shù)；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）+sinα的最大值為0，求α的值．

Answer 1

分析 （1）證法一：設(shè)2≤x₁＜x₂≤6，作差判斷出f（x₁）＞f（x₂），進(jìn)而可得：函數(shù)$f（x）=\frac{1}{x-1}$在[2，6]上是減函數(shù)．
證法二：求導(dǎo)，根據(jù)x∈[2，6]時(shí)，f′（x）＜0恒成立，可得：函數(shù)$f（x）=\frac{1}{x-1}$在[2，6]上是減函數(shù)；
（2）由（1）知f（x）在[2，6]上單調(diào)遞減，故1+sinα=0，進(jìn)而得到答案．

解答 解：（1）證法一：
設(shè)2≤x₁＜x₂≤6，
則$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{1}{{{x_1}-1}}-\frac{1}{{{x_2}-1}}=\frac{{（{x_2}-1）-（{x_1}-1）}}{{（{x_1}-1）（{x_2}-1）}}$=$\frac{{{x_2}-{x_1}}}{{（{x_1}-1）（{x_2}-1）}}$，…（4分）
由2≤x₁＜x₂≤6，得x₂-x₁＞0，（x₁-1）（x₂-1）＞0，
于是f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），…（5分）
∴函數(shù)$f（x）=\frac{1}{x-1}$在[2，6]上是減函數(shù)． …（6分）
證法二：∵函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x-1}$，
∴f′（x）=$\frac{-1}{（x-1）^{2}}$，
當(dāng)x∈[2，6]時(shí)，f′（x）＜0恒成立，
故函數(shù)$f（x）=\frac{1}{x-1}$在[2，6]上是減函數(shù)；
（2）由（1）知f（x）在[2，6]上單調(diào)遞減，
∴f（x）_max=f（2）=1．…（8分）
于是1+sinα=0，即sinα=-1，
∴$α=2kπ-\frac{π}{2}$，k∈Z． …（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值及其幾何意義，難度中檔．