Question

已知圓心為C的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，1）和B（-2，-2），且圓心在直線l：x+y-1=0上．
（1）求圓心為C的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P在圓C上，點(diǎn)Q在直線x-y+5=0上，求PQ的最小值；
（3）若直線kx-y+5=0被圓C所截得弦長(zhǎng)為8，求k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓相交的性質(zhì),圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：計(jì)算題,直線與圓

分析：（1）根據(jù)題意設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，得到圓心坐標(biāo)為（a，b），半徑為r，將A與B坐標(biāo)代入圓方程，消去r得到關(guān)于a與b的方程，再將圓心坐標(biāo)代入x+y-1=0中得到關(guān)于a與b的方程，聯(lián)立求出a與b的值，確定出r的值，即可確定出圓的方程．
（2）由題意求出圓心到直線的距離，減去圓的半徑即可得到|PQ|的最小值．
（3）由圓的半徑，弦長(zhǎng)，利用垂徑定理及勾股定理求出弦心距d的值，再由圓心C坐標(biāo)和直線kx-y+5=0，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．

解答： （1）解：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，得到圓心坐標(biāo)為（a，b），半徑為r，
將A與B坐標(biāo)代入圓方程得：（-1-a）²+（1-b）²=r²，（-2-a）²+（-2-b）²=r²，
消去r，整理得：a+3b+3=0①，
將圓心坐標(biāo)代入x+y-1=0得：a+b-1=0②，
聯(lián)立①②解得：a=3，b=-2，r²=（-1-3）²+（1+2）²=25，
則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-3）²+（y+2）²=25．
（2）解：由于圓C：（x-3）²+（y+2）²=25，
則C（3，-2），半徑r為：5，
由于C（3，-2）到直線l：x-y+5=0的距離為：

|3+2+5|

2

=5

2

，
故|PQ|的最小值是：5

2

-5．
（3）解：∵圓C半徑為5，弦長(zhǎng)為8，
∴圓心到直線kx-y+5=0的距離d=

52-42

=3，即

|3k+7|

k2+1

=3，
解得：k=-

20

21

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：二元一次方程組的解法，以及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心坐標(biāo)與半徑是解本題的關(guān)鍵．