Question

3．已知等差數(shù)列{a_n}的公差d不為0，且a₇，a₃，a₁是等比數(shù)列{b_n}從前到后的連續(xù)三項(xiàng)．
（1）若a₁=4，求等差數(shù)列{a_n}的前10項(xiàng)的和S₁₀；
（2）若等比數(shù)列{b_n}的前100項(xiàng)的和T₁₀₀=150，求b₂+b₄+b₆+…+b₁₀₀的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)公差為d，由a₇，a₃，a₁是等比數(shù)列{b_n}從前到后的連續(xù)三項(xiàng)．可得${a_1}•{a_7}=a_3^2$，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可得出．
（2）a₇=8d，a₃=4d，可得公比$q=\frac{1}{2}$，T₁₀₀=b₁+b₃+…+b₉₉+b₂+b₄+…+b₁₀₀，又b₂+b₄+…+b₁₀₀=q（b₁+b₃+…+b₉₉），即可得出．

解答 解：（1）設(shè)公差為d，∵a₇，a₃，a₁是等比數(shù)列{b_n}從前到后的連續(xù)三項(xiàng)．
∴${a_1}•{a_7}=a_3^2$，$a_1^2+6{a_1}d=a_1^2+4{a_1}d+4{d^2}$，
∴a₁=2d，又a₁=4，∴d=2，
a_n=2n+2，${S_{10}}=\frac{{（{a_1}+{a_{10}}）×10}}{2}=130$．
（2）a₇=8d，a₃=4d，
∴公比$q=\frac{1}{2}$，
T₁₀₀=b₁+b₃+…+b₉₉+b₂+b₄+…+b₁₀₀，
又b₂+b₄+…+b₁₀₀=q（b₁+b₃+…+b₉₉），
∴${b_2}+{b_4}+…+{b_{100}}+\frac{1}{q}（{b_2}+{b_4}+…+{b_{100}}）=150$，
∴b₂+b₄+…+b₁₀₀=50．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分組求和方法、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．