Question

14．已知等比數(shù)列{a_n}的公比q＞1，且a₁+a₃=20，a₂=8．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)${b_n}=\frac{n}{a_n}$，S_n是數(shù)列{b_n}的前n項和，不等式${S_n}+\frac{n}{{{2^{n+1}}}}＞{（-1）^n}•a$對任意正整數(shù)n恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知a₁+a₃=20，a₂=8．可得${a}_{1}（1+{q}^{2}）$=20，a₁q=8．化為2q²-5q+2=0，q＞1，解得q，a₁．可得a_n．
（Ⅱ）${b_n}=\frac{n}{a_n}$=$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，利用“錯位相減法”可得數(shù)列{b_n}的前n項和S_n，代入不等式${S_n}+\frac{n}{{{2^{n+1}}}}＞{（-1）^n}•a$，化簡利用數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答 （Ⅰ）解：由已知a₁+a₃=20，a₂=8．可得${a}_{1}（1+{q}^{2}）$=20，a₁q=8．化為2q²-5q=2=0，q＞1，解得q=2，a₁=4．
∴數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=2ⁿ⁺¹．
（Ⅱ）解：${b_n}=\frac{n}{a_n}$=$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
數(shù)列{b_n}的前n項和S_n=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
∴2S_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴S_n=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=1-$\frac{2+n}{{2}^{n+1}}$．
∴（-1）ⁿa＜1-$\frac{1}{{2}^{n}}$對任意正整數(shù)n恒成立，設(shè)f（n）=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$，易知f（n）單調(diào)遞增．
n為奇數(shù)時，f（n）的最小值為$\frac{1}{2}$，∴-a$＜\frac{1}{2}$得a$＞-\frac{1}{2}$，
n為偶數(shù)時，f（n）的最小值為$\frac{3}{4}$，∴a$＜\frac{3}{4}$，
綜上，$-\frac{1}{2}＜a＜\frac{3}{4}$，即實數(shù)a的取值范圍是$（-\frac{1}{2}，\frac{3}{4}）$．

點評 本題考查了“錯位相減法”、等比數(shù)列的通項公式與求和公式、數(shù)列的單調(diào)性、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．