Question

（理）如圖，矩形ABCD，|AB|=1，|BC|=a，PA⊥面ABCD且|PA|=1
（1）BC邊上是否存在點Q，使得FQ⊥QD，并說明理由；
（2）若BC邊上存在唯一的點Q使得FQ⊥QD，指出點Q的位置，并求出此時AD與平面PDQ所成的角的正弦值；
（3）在（2）的條件下，求二面角Q-PD-A的正弦值．

Answer 1

分析：（1）由PA⊥面ABCD可知AQ⊥QD，要判斷BC邊上是否存在點Q，只需判斷矩形ABCD中直線BC與以AD為直徑的圓的位置關系
，而當a＜2時，直線BC與以AD為直徑的圓相離，當a≥2時才存在點Q使PQ⊥QD
（2）由（1）的討論可知，當a=2時，以AD為直徑的圓與BC相切于Q，此時Q是唯一的點使∠AQD為直角，當Q為BC的中點．作AH⊥PQ于H，可證∠ADH為AD與平面PDQ所成的角，且在Rt△PAQ中可求sin∠ADH
（3）作AG⊥PD于G，可證∠AGH為二面角Q-PD-A的平面角，且在Rt△PAD中可求sin∠AGH

解答：解：（1）若BC邊上存在點Q，使PQ⊥QD，因PA⊥面ABCD知AQ⊥QD．（2分）
矩形ABCD中，當a＜2時，直線BC與以AD為直徑的圓相離，故不存在點Q使AQ⊥QD，（3分）
故僅當a≥2時才存在點Q使PQ⊥QD；（4分）
（2）當a=2時，以AD為直徑的圓與BC相切于Q，此時Q是唯一的點使∠AQD為直角，且Q為BC的中點．作AH⊥PQ于H，可證∠ADH為AD與平面PDQ所成的角，且在Rt△PAQ中可求得sin∠ADH=

6

6

（9分）
（3）作AG⊥PD于G，可證∠AGH為二面角Q-PD-A的平面角，且在Rt△PAD中可求得sin∠AGH=

30

6

（14分）

點評：本題主要考查了直線與平面垂直的與線線垂直的相互轉化，直線與平面所成的角的求解，其關鍵是根據條件找的與已知平面垂直的直線，從而先找到線面角，進而在直角三角形中求解角．