20.已知函數(shù)f(x)=x3-$\frac{3}{2}{x^2}+\frac{3}{4}x+\frac{1}{8}$,則$\sum_{k=1}^{2016}{f({\frac{k}{2017}})}$的值為(  )
A.0B.504C.1008D.2016

分析 使用二項式定理化簡得f(x)═(x-$\frac{1}{2}$)3+$\frac{1}{4}$.根據(jù)$\frac{k}{2017}-\frac{1}{2}$與$\frac{2017-k}{2017}-\frac{1}{2}$互為相反數(shù)便可得出答案.

解答 解:f(x)=x3-$\frac{3}{2}{x^2}+\frac{3}{4}x+\frac{1}{8}$=x3-$\frac{3}{2}$x2+$\frac{3}{4}$x-$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{4}$=(x-$\frac{1}{2}$)3+$\frac{1}{4}$.
∵$\frac{k}{2017}-\frac{1}{2}$+$\frac{2017-k}{2017}-\frac{1}{2}$=0,k=1,2,…2016.
∴($\frac{k}{2017}$-$\frac{1}{2}$)3+($\frac{2017-k}{2017}-\frac{1}{2}$)3=0,k=1,2,…2016.
∴$\sum_{k=1}^{2016}{f({\frac{k}{2017}})}$=$\frac{1}{4}×2016$=504.
故選:B.

點評 本題考查了二項式定理的應(yīng)用,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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A.1B.2C.3D.4

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