Question

10．若定義域為R的函數(shù)y=f（x），其圖象是連續(xù)不斷的，且存在常數(shù)λ（λ∈R），使得f（x+λ）+λf（x）=0對任意實數(shù)x都成立，則稱f（x）是一個“λ-伴隨函數(shù)”．給出下列四個關(guān)于“λ-伴隨函數(shù)”的命題：①f（x）=0是常數(shù)函數(shù)中唯一一個“λ-伴隨函數(shù)”；②f（x）=x+1是“λ-伴隨函數(shù)”；③f（x）=2^x是“λ-伴隨函數(shù)”；④當λ＞0時，“λ-伴隨函數(shù)”f（x）在（0，λ）內(nèi)至少有一個零點．所有真命題的序號為③．

Answer 1

分析 假設(shè)函數(shù)為λ-伴隨函數(shù)，根據(jù)定義得出f（x+λ）+λf（x）=0恒成立，從而得出λ的方程，根據(jù)方程是否有解得出假設(shè)是否成立．

解答 解：對于①，假設(shè)常數(shù)函數(shù)f（x）=k為λ-伴隨函數(shù)”，則k+λk=0，∴（1+λ）k=0，
∴當λ=-1或k=0．
∴任意一個常數(shù)函數(shù)都是''λ-伴隨函數(shù)''，其中λ=-1．
故①錯誤；
對于②，假設(shè)f（x）=x+1是“λ-伴隨函數(shù)”，則x+λ+1+λ（x+1）=0恒成立，
即（1+λ）x+2λ+1=0恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+λ=0}\\{2λ+1=0}\end{array}\right.$，無解，故f（x）=x+1不是“λ-伴隨函數(shù)”，
故②錯誤；
對于③，假設(shè)f（x）=2^x是“λ-伴隨函數(shù)”，則2^x+λ+λ•2^x=0恒成立，
即（2^λ+λ）•2^x=0恒成立，
∴2^λ+λ=0，
做出y=2^x和y=-x的函數(shù)圖象如圖：

由圖象可知方程2^λ+λ=0有解，即f（x）=x+1是“λ-伴隨函數(shù)”，
故③正確；
對于④，∵f（x）是“λ-伴隨函數(shù)”，∴f（x+λ）+λf（x）=0恒成立，
∴f（λ）+λf（0）=0，
∴f（0）f（λ）+λf²（0）=0，即f（0）•f（λ）=-λ²f（0）≤0．
若f（0）≠0，則f（0）•f（λ）＜0，∴f（x）在（0，λ）上至少存在一個零點，
若f（0）=0，則f（0）•f（λ）=0，則f（x）在（0，λ）上可能存在零點，也可能不存在零點．
故④錯誤．
故答案為③．

點評 本題考查了新定義的理解，函數(shù)恒成立問題的研究，方程根的存在性判斷，屬于中檔題．