Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=

π

2

，AB=AC=2，AA₁=6，點E、F分別在棱AA₁、CC₁上，且AE=C₁F=2．
（1）求四棱錐B-AEFC的體積；
（2）求△BEF所在半平面與△ABC所在半平面所成二面角θ的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間角

分析：（1）由已知條件可判出AB⊥面AA₁C₁C，求出直角梯形AEFC的面積，則四棱錐B-AEFC的體積可求；
（2）以A為坐標原點建立空間直角坐標系，求出平面ABC與平面BEF的法向量，利用平面法向量所成角的余弦值得△BEF所在半平面與△ABC所在半平面所成二面角θ的余弦值．

解答： 解：（1）因為三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，所以A₁A⊥底面ABC，所以A₁A⊥AB，
又AB⊥AC，AC∩A₁A=A，所以AB⊥面AA₁C₁C，則AB為四棱錐B-AEFC的高．
在直角梯形AEFC中，因為AE=2，AC=2，CF=4，所以SAEFC=

1

2

(2+4)×2=6．
所以V_B-AEFC=

1

3

SAEFC•AB=

1

3

×6×2=4．
（2）以A為坐標原點，分別以AC，AB，AA₁所在直線為x，y，z建立如圖所示的直角坐標系，

則A（0，0，0），B（0，2，0），E（0，0，2），F(xiàn)（2，0，4），

EF

=(2，0，2)，

EB

=(0，2，-2)
設(shè)平面BEF的法向量為

n

=(x，y，z)，則

n • EF =0 n • EB =0

，則

2x+2z=0 2y-2z=0

，取z=1，得x=-1，y=1．
所以

n

=(-1，1，1)．
平面ABC的一個法向量為

n

1=(0，0，1)，
則cosθ=

n • n 1

| n |•| n 1|

=

1

3

=

3

3

．
所以△BEF所在半平面與△ABC所在半平面所成二面角θ的余弦值為

3

3

．

點評：本題考查了椎體體積的求解方法，考查了利用空間向量求二面角的平面角，解答的關(guān)鍵是建立正確的空間坐標系，是中檔題．