Question

12．已知6只小白鼠有1只被病毒感染，需要通過對(duì)其化驗(yàn)病毒DNA來確定是否感染．下面是兩種化驗(yàn)方案：方案甲：逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定感染為止．方案乙：將6只分為兩組，每組三個(gè)，并將它們混合在一起化驗(yàn)，若存在病毒DNA，則表明感染在這三只當(dāng)中，然后逐個(gè)化驗(yàn)，直到確定感染為止；若結(jié)果不含病毒DNA，則在另外一組中逐個(gè)進(jìn)行化驗(yàn)．
（1）求依據(jù)方案乙所需化驗(yàn)恰好為2次的概率．
（2）首次化驗(yàn)化驗(yàn)費(fèi)為10元，第二次化驗(yàn)化驗(yàn)費(fèi)為8元，第三次及其以后每次化驗(yàn)費(fèi)都是6元，列出方案甲所需化驗(yàn)費(fèi)用的分布列，并估計(jì)用方案甲平均需要化驗(yàn)費(fèi)多少元？

Answer 1

分析 （1）方案乙中所需化驗(yàn)次數(shù)恰好為2次的事件有兩種情況：第一種，先化驗(yàn)一組，結(jié)果不含病毒DNA，再?gòu)牧硪唤M任取一個(gè)樣品進(jìn)行化驗(yàn)，可得恰含有病毒的概率為$\frac{{∁}_{5}^{2}}{{∁}_{6}^{3}}$×$\frac{1}{{∁}_{3}^{1}}$．第二種，先化驗(yàn)一組，結(jié)果含有病毒DNA，再?gòu)闹兄饌�(gè)化驗(yàn)，恰第一個(gè)樣品含有病毒的概率為$\frac{{∁}_{5}^{2}}{{∁}_{6}^{3}}$×$\frac{1}{{∁}_{3}^{1}}$．利用互斥事件的概率計(jì)算公式即可得出．
（2）設(shè)方案甲化驗(yàn)的次數(shù)為ξ，則ξ可能的取值為1，2，3，4，5，對(duì)應(yīng)的化驗(yàn)費(fèi)為η元，利用相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式可得：P（ξ=1）=P（η=10），P（ξ=2）=P（η=18），P（ξ=3）=P（η=24），P（ξ=4）=P（η=30），P（ξ=5）=P（η=36）．

解答 解：（1）方案乙中所需化驗(yàn)次數(shù)恰好為2次的事件有兩種情況：
第一種，先化驗(yàn)一組，結(jié)果不含病毒DNA，再?gòu)牧硪唤M任取一個(gè)樣品進(jìn)行化驗(yàn)，
則恰含有病毒的概率為$\frac{{∁}_{5}^{2}}{{∁}_{6}^{3}}$×$\frac{1}{{∁}_{3}^{1}}$=$\frac{1}{6}$．
第二種，先化驗(yàn)一組，結(jié)果含有病毒DNA，再?gòu)闹兄饌�(gè)化驗(yàn)，
恰第一個(gè)樣品含有病毒的概率為$\frac{{∁}_{5}^{2}}{{∁}_{6}^{3}}$×$\frac{1}{{∁}_{3}^{1}}$=$\frac{1}{6}$．
∴依據(jù)方案乙所需化驗(yàn)恰好為2次的概率為$\frac{1}{6}+\frac{1}{6}$=$\frac{1}{3}$．
（2）設(shè)方案甲化驗(yàn)的次數(shù)為ξ，則ξ可能的取值為1，2，3，4，5，對(duì)應(yīng)的化驗(yàn)費(fèi)為η元，
P（ξ=1）=P（η=10）=$\frac{1}{6}$，
P（ξ=2）=P（η=18）=$\frac{5}{6}$×$\frac{1}{5}$=$\frac{1}{6}$，
P（ξ=3）=P（η=24）=$\frac{5}{6}×$$\frac{4}{5}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{6}$，
P（ξ=4）=P（η=30）=$\frac{5}{6}×\frac{4}{5}×\frac{3}{4}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$，
P（ξ=5）=P（η=36）=$\frac{5}{6}×\frac{4}{5}×\frac{3}{4}×\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$，
∴方案甲所需化驗(yàn)費(fèi)用η的分布列為：

η	10	18	24	30	36
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{3}$

用方案甲平均需要化驗(yàn)費(fèi)E（η）=$10×\frac{1}{6}$+$18×\frac{1}{6}$+24×$\frac{1}{6}$+30×$\frac{1}{6}$+36×$\frac{1}{3}$=$\frac{77}{3}$（元）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相互獨(dú)立與互斥事件的概率計(jì)算公式、隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．