Question

設(shè)x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，稱函數(shù)f（x）=[x]為高斯函數(shù)，也叫取整函數(shù)．現(xiàn)有下列四個(gè)命題：
①高斯函數(shù)為定義域?yàn)镽的奇函數(shù)；
②“[x]”≥“[y]”是“x≥y”的必要不充分條件；
③設(shè)g（x）=（

1

2

）^|x|，則函數(shù)f（x）=[g（x）]的值域?yàn)閧0，1}；
④方程[

x+1

4

]=[

x-1

2

]的解集是{x|1≤x＜5}．
其中真命題的序號(hào)是

 

．（寫出所有真命題的序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①，舉例說明，高斯函數(shù)f（x）=[x]中，f（-1.1）≠-f（1.1），可判斷①錯(cuò)誤；
②，利用充分必要條件的概念，舉例如[4.1]≥[4.5]，但4.1＜4.5，說明“[x]”≥“[y]”是“x≥y”的必要不充分條件；
③，作出g（x）=（

1

2

）^|x|的圖象，利用高斯函數(shù)f（x）=[x]可判斷函數(shù)f（x）=[g（x）]的值域?yàn)閧0，1}；
④，方程[

x+1

4

]=[

x-1

2

]?[

x+1

4

]+1=[

x+1

2

]，通過對(duì)0≤

x+1

4

＜1，1≤

x+1

4

＜2，2≤

x+1

4

＜3三種情況的討論與相應(yīng)的

x+1

2

的取值范圍的討論可得原方程的解集是{x|1≤x＜5}，從而可判斷④正確．

解答： 解：對(duì)于①，f（-1.1）=[-1.1]=-2，f（1.1）=[1.1]=1，顯然f（-1.1）≠-f（1.1），故定義域?yàn)镽的高斯函數(shù)不是奇函數(shù)，①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，“[x]”≥“[y]”不能⇒“x≥y”，如[4.1]≥[4.5]，但4.1＜4.5，即充分性不成立；
反之，“x≥y”⇒“[x]”≥“[y]”，即必要性成立，所以“[x]”≥“[y]”是“x≥y”的必要不充分條件，故②正確；
對(duì)于③，設(shè)g（x）=（

1

2

）^|x|，作出其圖象如下：

由圖可知，函數(shù)f（x）=[g（x）]的值域?yàn)閧0，1}，故③正確；
對(duì)于④，[

x+1

4

]=[

x-1

2

]=[

x+1

2

-1]=[

x+1

2

]-1，
即[

x+1

4

]+1=[

x+1

2

]，顯然，

x+1

2

＞

x+1

4

，即x＞-1；
（1）當(dāng)0≤

x+1

4

＜1，即-1≤x＜3時(shí)，[

x+1

4

]=0，[

x+1

4

]+1=1；
要使[

x+1

4

]+1=[

x+1

2

]，必須1≤

x+1

2

＜2，即1≤x＜3，與-1≤x＜3聯(lián)立得：1≤x＜3；
（2）當(dāng)1≤

x+1

4

＜2，即3≤x＜7時(shí)，[

x+1

4

]=1，[

x+1

4

]+1=2；
要使[

x+1

4

]+1=[

x+1

2

]，必須2≤

x+1

2

＜3，即3≤x＜5，與3≤x＜7聯(lián)立得：3≤x＜5；
（3）當(dāng)2≤

x+1

4

＜3，即7≤x＜11時(shí)，[

x+1

4

]=2，[

x+1

4

]+1=3；
要使[

x+1

4

]+1=[

x+1

2

]，必須3≤

x+1

2

＜4，即5≤x＜7，與7≤x＜11聯(lián)立得：x∈∅；
綜上所述，方程[

x+1

4

]=[

x-1

2

]的解集是{x|1≤x＜5}，故④正確．
故答案為：②③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查高斯函數(shù)的性質(zhì)，綜合考查函數(shù)的奇偶性、指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)、充分必要條件的概念、方程思想與分類討論思想的綜合應(yīng)用，屬于難題．