Question

已知函數f（x）=

1

3

ax³-bx²+（2-b）x+1（a，b是實數，a≠0）在x=x₁處取得極大值，在x=x₂處取得極小值，且0＜x₁＜1＜x₂＜2．
（1）求證：0＜a＜2b＜3a：
（2）若函數g（x）=f′（x）-2+a-2b．設g（x）的零點為α，β，求|α-β|的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值

專題：計算題,證明題,導數的綜合應用

分析：（1）由極值和導數的關系，以及單調性和導數的關系得到a＞0，再由二次函數的性質可得f′（0）＞0，f′（1）＜0，f′（2）＞0，即可得證；
（2）求出g（x）的表達式，運用韋達定理，求出|α-β|的表達式，配方再由（1）的結論，即可得到．

解答： （1）證明：由題意f'（x）=ax²-2bx+（2-b），
f'（x）=0的根為x₁，x₂，且0＜x₁＜1＜x₂＜2，
且f（x）在區(qū)間（-∞，x₁），（x₂，+∞）上單調遞增，即f'（x）＞0，
f（x）在（x₁，x₂）上單調遞減，即f'（x）＜0，
所以a＞0，
所以

f′(0)=2-b＞0 f′(1)=a-3b+2＜0 f′(2)=4a-5b+2＞0

?

1

2

＜

b

a

＜

3

2

，
又a＞0，所以0＜a＜2b＜3a；
（2）解：函數g（x）=f'（x）-2+a-2b．設g（x）的零點為α，β，
即有g（x）=ax²-2bx+a-3b，α+β=

2b

a

，αβ=

a-3b

a

，
則|α-β|=

2 b2+3ab-a2

|a|

=2

( b a )2+3× b a -1

，
由（1）知

1

2

＜

b

a

＜

3

2

∴|α-β|∈(

3，

23

)．

點評：本題考查導數的綜合應用：求單調區(qū)間和求極值，考查函數和方程的轉換思想方法，注意運用二次函數的性質解決，屬于中檔題．