Question

20．$\int_{-1}^1{（{{e^{|x|}}+\sqrt{4-{x^2}}}）}dx$=$2e+\frac{2}{3}π-2+\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由定積分的幾何意義知：${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx是如圖所示的陰影部分曲邊梯形OABC的面積，其面積可分為扇形和三角形，分別求解即可，再根據(jù)定積分的計算法則

解答 解：${∫}_{-1}^{1}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx=2${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx，
由定積分的幾何意義知：${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx是如圖所示的陰影部分曲邊梯形OABC的面積，
其中B（1，$\sqrt{3}$），∠BOC=30°
故${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx=S_扇形BOC+S_△AOB=$\frac{π}{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故${∫}_{-1}^{1}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx=2${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx=$\frac{2π}{3}$+$\sqrt{3}$，
故${∫}_{-1}^{1}$e^|x|dx=2${∫}_{0}^{1}$e^xdx=2e^x|${\;}_{0}^{1}$=2e-2，
故$\int_{-1}^1{（{{e^{|x|}}+\sqrt{4-{x^2}}}）}dx$=$2e+\frac{2}{3}π-2+\sqrt{3}$，
故答案為：$2e+\frac{2}{3}π-2+\sqrt{3}$，

點評 本題考查定積分的幾何意義，準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化為圖形的面積是解決問題的關(guān)鍵，屬于中檔題