Question

20．已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且∠F₁PF₂=$\frac{π}{4}$，則橢圓和雙曲線的離心率乘積的最小值為（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． 1
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a₁，雙曲線的半實(shí)軸長(zhǎng)a₂，焦距2c．由橢圓及雙曲線定義用a₁，a₂表示出|PF₁|，|PF₂|，在△F₁PF₂中根據(jù)余弦定理可得到a₁，a₂與c的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為離心率，再由基本不等式得結(jié)論．

解答 解：如圖，設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a₁，雙曲線的半實(shí)軸長(zhǎng)為a₂，則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義：
|PF₁|+|PF₂|=2a₁，|PF₁|-|PF₂|=2a₂，
∴|PF₁|=a₁+a₂，|PF₂|=a₁-a₂，
設(shè)|F₁F₂|=2c，∠F₁PF₂=$\frac{π}{4}$，則：
在△PF₁F₂中由余弦定理得，
4c²=（a₁+a₂）²+（a₁-a₂）²-2（a₁+a₂）（a₁-a₂）cos$\frac{π}{4}$，
化簡(jiǎn)得：（$2-\sqrt{2}$）a₁²+（$2+\sqrt{2}$）a₂²=4c²，
即$\frac{2-\sqrt{2}}{{{e}_{1}}^{2}}+\frac{2+\sqrt{2}}{{{e}_{2}}^{2}}=4$，
又∵$\frac{2-\sqrt{2}}{{{e}_{1}}^{2}}+\frac{2+\sqrt{2}}{{{e}_{2}}^{2}}≥\frac{2\sqrt{{2}^{2}-2}}{{e}_{1}•{e}_{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{{e}_{1}•{e}_{2}}$，
∴$\frac{2\sqrt{2}}{{e}_{1}•{e}_{2}}≤4$，即e₁•e₂≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即橢圓和雙曲線的離心率乘積的最小值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓錐曲線的共同特征，考查通過(guò)橢圓與雙曲線的定義求焦點(diǎn)三角形三邊長(zhǎng)，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)所得出的條件靈活變形，求出焦點(diǎn)三角形的邊長(zhǎng)來(lái)，是中檔題．