Question

為了解當(dāng)前國(guó)內(nèi)青少年網(wǎng)癮的狀況，探索青少年網(wǎng)癮的成因，中國(guó)青少年網(wǎng)絡(luò)協(xié)會(huì)調(diào)查了26個(gè)省會(huì)城市的青少年上網(wǎng)情況，并在已調(diào)查的青少年中隨機(jī)挑選了100名青少年的上網(wǎng)時(shí)間作參考，得到如下的統(tǒng)計(jì)表格．平均每天上網(wǎng)時(shí)間超過(guò)2個(gè)小時(shí)可視為“網(wǎng)癮”患者．

時(shí)間（單位：小時(shí)）	[0，1]	（1，2]	（2，3]	（3，4]	（4，5]	（5，6]	（6，12]
人數(shù)	52	23	10	5	4	4	2

（Ⅰ）以該100名青少年來(lái)估計(jì)中國(guó)青少年的上網(wǎng)情況，則在中國(guó)隨機(jī)挑選3名青少年，求至少有一人是“網(wǎng)癮”患者的概率；
（Ⅱ）以該100名青少年來(lái)估計(jì)中國(guó)青少年的上網(wǎng)情況，則在中國(guó)隨機(jī)挑選4名青少，記X為“網(wǎng)癮”患者的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,互斥事件與對(duì)立事件,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式

專題：計(jì)算題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）利用對(duì)立事件的概率公式，即可求至少有一人是“網(wǎng)癮”患者的概率；
（Ⅱ）X的可能取值為0，1，2，3，4，求出相應(yīng)的概率，可得X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：由題意得，該100名青少年中有25個(gè)是“網(wǎng)癮”患者．
（Ⅰ）設(shè)A_i（0≤i≤3）表示“所挑選的3名青少年有i個(gè)青少年是網(wǎng)癮患者”，“至少有一人是網(wǎng)癮患者”記為事件A，
則P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=1-P(A0)=1-(

75

100

)3=

37

64

．…（4分）
（Ⅱ）X的可能取值為0，1，2，3，4，則
P（X=0）=(

3

4

)4=

81

256

，P（X=1）=

C

1 4

(

3

4

)3(

1

4

)=

27

64

，P（X=2）=

C

2 4

(

3

4

)2(

1

4

)2=

27

128

，
P（X=3）=

C

3 4

(

3

4

)(

1

4

)3=

3

64

，P（X=4）=

C

4 4

(

1

4

)4=

1

256

．…（10分）
X的分布列為

X	0	1	2	3	4
P	81 256	27 64	27 128	3 64	1 256

則E(X)=0×

81

256

+1×

27

64

+2×

27

128

+3×

3

64

+4×

1

256

=1．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)立事件的概率公式，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，確定變量的取值，求出相應(yīng)的概率是關(guān)鍵．