Question

10．已知（2x+$\frac{1}{{x}^{2}}$+a）⁶（a∈Z）的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為1，則（m+an）⁸的展開(kāi)式中含m³n⁵的項(xiàng)的系數(shù)為-56．

Answer 1

分析 利用（2x+$\frac{1}{{x}^{2}}$+a）⁶（a∈Z）的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為1，求出a，確定（m+an）⁸的展開(kāi)式的通項(xiàng)，即可求出（m+an）⁸的展開(kāi)式中含m³n⁵的項(xiàng)的系數(shù)．

解答 解：（2x+$\frac{1}{{x}^{2}}$+a）⁶（a∈Z）的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為${a}^{6}+{C}_{6}^{2}•{2}^{2}•{C}_{4}^{1}•{a}^{3}$+${C}_{6}^{4}•{2}^{4}$=1，
可化為（a³+239）（a³+1）=0，
∵a∈Z，
∴a=-1，
∴（m+an）⁸的展開(kāi)式的通項(xiàng)為${C}_{8}^{r}•（-1）^{r}•{m}^{8-r}•{n}^{r}$，
令r=5，可得所求系數(shù)為-56．
故答案為：-56．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．