9．已知單位向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$滿足$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$=0，0≤x≤$\frac{1}{2}$≤y≤1，則|x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow$+（1-x-y）$\overrightarrow{c}$|的最小值為$\frac{1}{4}$．

分析 單位向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$滿足$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$=0，不妨設(shè)$\overrightarrow{a}$=（-1，0），$\overrightarrow$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{c}$=（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow$+（1-x-y）$\overrightarrow{c}$=x（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$）+y$（\overrightarrow-\overrightarrow{c}$）+$\overrightarrow{c}$=（-$\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}x+\sqrt{3}y-\frac{\sqrt{3}}{2}$），
則|x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow$+（1-x-y）$\overrightarrow{c}$|2=（-$\frac{3}{2}$x+$\frac{1}{2}$）2+（$\frac{\sqrt{3}}{2}x+\sqrt{3}y-\frac{\sqrt{3}}{2}$）2，再利用柯西不等式求解．

解答 解：單位向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$滿足$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$=0，不妨設(shè)$\overrightarrow{a}$=（-1，0），$\overrightarrow$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{c}$=（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）（如圖），
x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow$+（1-x-y）$\overrightarrow{c}$=x（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$）+y$（\overrightarrow-\overrightarrow{c}$）+$\overrightarrow{c}$=（-$\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}x+\sqrt{3}y-\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴|x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow$+（1-x-y）$\overrightarrow{c}$|2=（-$\frac{3}{2}$x+$\frac{1}{2}$）2+（$\frac{\sqrt{3}}{2}x+\sqrt{3}y-\frac{\sqrt{3}}{2}$）2，
由柯西不等式得=[（-$\frac{3}{2}$x+$\frac{1}{2}$）2+（$\frac{\sqrt{3}}{2}x+\sqrt{3}y-\frac{\sqrt{3}}{2}$）2]•[（$\sqrt{3}$）2+32]≥[$\sqrt{3}$（-$\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}$）+3（$\frac{\sqrt{3}}{2}x+\sqrt{3}y-\frac{\sqrt{3}}{2}$）]2=（3$\sqrt{3}$y-$\sqrt{3}$）2
∵$\frac{1}{2}$≤y≤1，∴y=$\frac{1}{2}$時，（-$\frac{3}{2}$x+$\frac{1}{2}$）2+（$\frac{\sqrt{3}}{2}x+\sqrt{3}y-\frac{\sqrt{3}}{2}$）2最小為$\frac{1}{16}$
則|x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow$+（1-x-y）$\overrightarrow{c}$|的最小值為$\frac{1}{4}$．
故答案為：$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查了向量的模的取值范圍的求法，考查了不等式的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

19．某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需要了解年宣傳費x（單位：千元）對年銷量y（單位：）和利潤z（單位：千元）的影響，對近8年的宣傳費xi（i=1，2，…，8）和年銷售量yi數(shù)據(jù)進(jìn)行了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值．

$\overline{x}$$\overline{y}$$\overline{w}$ $\sum_{i=1}^{n}$（xi-$\overline{x}$）2$\sum_{i=1}^{n}$（wi-$\overline{w}$）2$\sum_{i=1}^{n}$（xi-$\overline{x}$）（yi-$\overline{y}$）$\sum_{i=1}^{n}$（wi-$\overline{w}$）（yi-$\overline{y}$）
46.65636.8289.81.61469108.8
表中wi=$\sqrt{{x}_{i}}$，$\overline{w}$=$\frac{1}{8}$$\sum_{i=1}^{8}$wi
（1）根據(jù)散點圖判斷，$y=a+bx，y=c+d\sqrt{x}$哪一個更適合作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程類型（給出判斷即可，不必說明理由）；
（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；
（3）已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x，y的關(guān)系為z=0.2y-x，根據(jù)（2）的結(jié)果回答下列問題；
①當(dāng)年宣傳費x=90時，年銷售量及年利潤的預(yù)報值是多少？
②當(dāng)年宣傳費x為何值時，年利潤的預(yù)報值最大？
附：對于一組數(shù)據(jù)（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回歸線v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計分別為：
$\widehat{β}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{μ}_{i}-\overline{μ}）（{v}_{i}-\overline{v}）}{\sum_{i=1}^{n}（{μ}_{i}-\overline{μ}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{v}$-$\widehat{β}$$\overline{μ}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

20．銳角△ABC中，D為BC的中點，滿足∠BAD+∠C=90°，則角B，C的大小關(guān)系為B=C．（填“B＜C”或“B=C”或B＞C）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

17．如圖，在△ABC中，cos∠ABC=$\frac{1}{3}$，AB=2，點D在線段AC上，且AD=2DC，BD=$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，則△ABC的面積為2$\sqrt{2}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移$\frac{π}{12}$個單位得到函數(shù)g（x）的圖象，則g（$\frac{π}{12}$）的值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

14．現(xiàn)從某班的一次期末考試中，隨機(jī)的抽取了七位同學(xué)的數(shù)學(xué)（滿分150分）、物理（滿分110分）成績?nèi)绫硭�，�?shù)學(xué)、物理成績分別用特征量t，y表示，
特征量1234567
t101124119106122118115
y74838775858783
（1）求y關(guān)于t的回歸方程；
（2）利用（1）中的回歸方程，分析數(shù)學(xué)成績的變化對物理成績的影響，并估計該班某學(xué)生數(shù)學(xué)成績130分時，他的物理成績（精確到個位）．
附：回歸方程$\widehaty=\widehatbt+\widehata$中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{t}$．${\sum_{i=1}^7{（{{t_i}-\overline t}）}^2}=432$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

1．某市對創(chuàng)“市級示范性學(xué)校”的甲、乙兩所學(xué)校進(jìn)行復(fù)查驗收，對辦學(xué)的社會滿意度一項評價隨機(jī)訪問了20位市民，這20位市民對這兩所學(xué)校的評分（評分越高表明市民的評價越好）的數(shù)據(jù)如下：
甲校：58，66，71，58，67，72，82，92，83，86，67，59，86，72，78，59，68，69，73，81；
乙校：90，80，73，65，67，69，81，85，82，88，89，86，86，78，98，95，96，91，76，69，．
檢查組將成績分成了四個等級：成績在區(qū)間[85，100]的為A等，在區(qū)間[70，85）的為B等，在區(qū)間[60，70）的為C等，在區(qū)間[0，60）為D等．
（1）請用莖葉圖表示上面的數(shù)據(jù)，并通過觀察莖葉圖，對兩所學(xué)校辦學(xué)的社會滿意度進(jìn)行比較，寫出兩個統(tǒng)計結(jié)論；
（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，求乙校得分的等級高于甲校得分的等級的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

18．已知某產(chǎn)品的廣告費用x（單位：萬元）與銷售額y（單位：萬元）具有線性關(guān)系關(guān)系，其統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：
x3456
y25304045
由上表可得線性回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat$x+$\widehat{a}$，據(jù)此模型預(yù)報廣告費用為8萬元時的銷售額是（　�。�
附：$\widehat$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）•（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2}-n{{（\overline x）}^2}}}$；$\widehat{a}$=$\widehat{y}$-$\widehat$x．
A．59.5B．52.5C．56D．63.5

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

19．已知集合A={x∈R|0＜x≤5}，B={x∈R|log2x＜2}，則（∁AB）∩Z=（　　）
A．{4}B．{5}C．[4，5]D．{4，5}

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