Question

9．已知函數(shù)f（x）=ln$\frac{1}{2a{x}^{2}+bx+8a}$．
（1）當(dāng)a=$\frac{1}{4}$時(shí)，若函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)b的值；
（2）當(dāng)b=-3時(shí)，若函數(shù)f（x）在（4，+∞）上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=$\frac{1}{4}$時(shí)，根據(jù)f（-x）=f（x），求實(shí)數(shù)b的值．
（2）當(dāng)b=-3時(shí)，若函數(shù)f（x）在（4，+∞）上單調(diào)遞減，則 t=2ax²-3x+8a在（4，+∞）上單調(diào)遞增，且 t=2ax²-3x+8a＞0，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）對(duì)于函數(shù)f（x）=ln$\frac{1}{2a{x}^{2}+bx+8a}$，
當(dāng)a=$\frac{1}{4}$時(shí)，若函數(shù)f（x）=ln$\frac{1}{\frac{1}{2}{•x}^{2}+bx+2}$=-ln（$\frac{1}{2}{•x}^{2}$+bx+2）為偶函數(shù)
∴f（-x）=f（x），∴b=0．
（2）當(dāng)b=-3時(shí)，若函數(shù)f（x）=ln$\frac{1}{2{ax}^{2}-3x+8a}$ 在（4，+∞）上單調(diào)遞減，
∴t=2ax²-3x+8a在（4，+∞）上單調(diào)遞增，且 t=2ax²-3x+8a＞0，∴$\left\{\begin{array}{l}{2a＞0}\\{\frac{3}{4a}≤4}\\{2a{•4}^{2}-3•4+8a≥0}\end{array}\right.$，
求得 a≥$\frac{3}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．