Question

8．設(shè)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-|lnx|，x＞0}\\{{x}^{2}+2x-1，x≤0}\end{array}\right.$，若f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中a，b，c，d互不相等，則對(duì)于命題p：abcd∈（0，1）和命題q：a+b+c+d∈[e+e^-1-2，e²+e^-2-2）真假的判斷，正確的是（　　）

• A． p假q真
• B． p假q假
• C． p真q真
• D． p真q假

Answer 1

分析 畫出函數(shù)f（x）=的圖象，根據(jù)a，b，c，d互不相等，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），令a＜b＜c＜d，根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，及c，d的取值范圍得到abcd的取值范圍，再利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求出a+b+c+d的范圍得答案．

解答 解：作出函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-|lnx|，x＞0}\\{{x}^{2}+2x-1，x≤0}\end{array}\right.$的圖象如圖，

不妨設(shè)a＜b＜c＜d，圖中實(shí)線y=m與函數(shù)f（x）的圖象相交于四個(gè)不同的點(diǎn)，由圖可知m∈（-2，-1]，
則a，b是x²+2x-m-1=0的兩根，∴a+b=-2，ab=-m-1，
∴ab∈[0，1），且lnc=m，lnd=-m，
∴l(xiāng)n（cd）=0，
∴cd=1，
∴abcd∈[0，1），故①正確；
由圖可知，c∈（$\frac{1}{{e}^{2}}，\frac{1}{e}$]，
又∵cd=1，a+b=-2，
∴a+b+c+d=c+$\frac{1}{c}$-2，在（$\frac{1}{{e}^{2}}$，$\frac{1}{e}$]是遞減函數(shù)，
∴a+b+c+d∈[e+$\frac{1}{e}$-2，e²+$\frac{1}{{e}^{2}}$-2），故②正確．
∴p真q真．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，其中畫出函數(shù)圖象，利用圖象的直觀性，數(shù)形結(jié)合進(jìn)行解答是解決此類問題的關(guān)鍵，是中檔題．